Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 15

Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11
Mụn thi: Toỏn
Thời gian: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang và cú 5 cõu) 
ĐỀ THI:
Cõu 1 Giải phương trỡnh: .
Câu 2: Cho khai triển . Chứng minh rằng: 
.
Câu 3: Cho dóy (Un), (n = 0,1,2,3...) xỏc định bởi: ; 
a) Hóy xỏc định số hạng tổng quỏt của .
b) Chứng minh rằng số cú thể biểu diễn thành tổng bỡnh phương của ba số nguyờn liờn tiếp.
Câu 4: Cho hỡnh chúp SABCD, ABCD là hỡnh vuụng cạnh , SA ^(ABCD), 
SA = 2. Mặt phẳngqua BC tạo với AC một gúc 30o, cắt SA, SD lần lượt tại M và N. Tớnh diện tớch thiết diện BCNM.
Câu 5: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
HƯỚNG DẪN
Cõu 1 Giải phương trỡnh: .
Điều kiện: (*)
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
+ Với 
+ Với 
Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trỡnh đó cho là:
Câu 2: Cho khai triển . Chứng minh rằng: 
.
 Ta có 
Suy ra hệ số của trong khai triển là 
Mặt khác . Suy ra hệ số của trong khai triển là .
Vậy (đpcm).
Câu 3: Cho dóy (Un), (n = 0,1,2,3...) xỏc định bởi:
a) Hóy xỏc định số hạng tổng quỏt của .
b) Chứng minh rằng số cú thể biểu diễn thành tổng bỡnh phương của ba số nguyờn liờn tiếp.
a)Theo bài ra ta cú:
Thay n bởi n-1 ta được:
Trừ theo từng vế (1) cho (2) được:
 (3)
(do 
Phương trỡnh đặc trưng của (3)
Số hạng tổng quỏt: 
b) Với mỗi số , thỡ tồn tại số để: 
Suy ra
Do vậy, 
Câu 4: Cho hỡnh chúp SABCD, ABCD là hỡnh vuụng cạnh , SA ^(ABCD), 
SA = 2. Mặt phẳngqua BC tạo với AC một gúc 30o, cắt SA, SD lần lượt tại M và N. Tớnh diện tớch thiết diện BCNM.
Ta cú: 
°Mà:
Suy ra thiết diện BCNM là thang vuụng tại B, M.
°Dựng 
Ta cú: (vỡ Suy ra:
°Tam giỏc ABM vuụng tại A, đường cao AH cú: 
 (tam giỏc ABM vuụng cõn) và 
°Diện tớch hỡnh thang vuụng BCNM:
C
D
N
M
S
H
B
a
A
Câu 5:
 Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
 (1)
Ta có 
 (2)
Ta có 
Do đó 
 . Vậy (2) đúng (đpcm).