Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 16

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CẤP TỈNH
ĐỀ THI MễN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT chuyờn )
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề.
————————————
Cõu I (4 điểm)
1. Giải phương trỡnh: 
2. Giải hệ phương trỡnh: 
Cõu II (2 điểm)
Giả sử lần lượt là số đo cỏc gúc của tứ giỏc lồi bất kỡ.
1. Chứng minh rằng .
2. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức .
Cõu III (1 điểm)
Gọi A là tập hợp cỏc số tự nhiờn cú tỏm chữ số đụi một khỏc nhau. Chọn ngẫu nhiờn một số tự nhiờn thuộc vào tập A. Tớnh xỏc suất để chọn được một số thuộc A và số đú chia hết cho .
Cõu IV (2,0 điểm)
Cho tam giỏc ABC. Phõn giỏc trong của cỏc gúc A, B, C cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC lần lượt tại cỏc điểm. Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm ; đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm ; đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm M. Biết rằng và . Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC.
Cõu V (1 điểm)
Cho hàm số thỏa món điều kiện với mọi . Chứng minh rằng với mọi .
	-------------Hết-------------
Chỳ ý: Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Họ và tờn thớ sinh: SBD: 
HƯỚNG DẪN CHẤM MễN: TOÁN
Cõu
Nội dung
Điểm
I
4điểm
I.1 (2 điểm)
0,5
0,5
0,5
0,5
I.2 (2 điểm)
+) Nếu thay vào hệ ta cú hệ vụ nghiệm
0,25
+) Nếu ta đặt thay vào hệ ta được
0,25
0,5
0,5
+) Nếu thay vào (1) khụng thỏa món
0,25
+) Nếu thay vào (1) khụng thỏa món, thay vào (1) ta cú . Do đú nghiệm của hệ là
0,25
II
2điểm
II.1 (1 điểm)
Nhận xột. Nếu thỡ
 . Dấu bằng xảy ra khi 
0,25
Sử dụng nhận xột trờn ta cú
0,5
. Dấu bằng xảy ra khi .
0,25
II.2 (1 điểm)
Đặt ta cú 
0,25
Khi đú theo phần II.1 ta cú 
0,25
Khi đú 
0,25
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy (với xỏc định bởi (1) và (2))
0,25
III
1điểm
+) Trước hết ta tớnh n(A). Với số tự nhiờn cú tỏm chữ số đụi một khỏc nhau thỡ chữ số đầu tiờn cú 9 cỏch chọn và cú cho 7 vị trớ cũn lại. Vậy 
0,25
+) Giả sử ta thấy tổng cỏc phần tử của B bằng nờn số cú chớn chữ số đụi một khỏc nhau và chia hết cho 9 sẽ được tạo thành từ 8 chữ số đụi một khỏc nhau của cỏc tập nờn số cỏc số loại này là . 
0,5
Vậy xỏc suất cần tỡm là .
0,25
IV
2điểm
* Dễ thấy , do đú O là trung điểm của .
0,5
* 
* Do BM=MN; 
0,5
Do đú , mà 
Vậy 
0,5
Cựng với ta được 
0,5
V
1điểm
Từ (1) suy ra (2)
0,25
Khi đú 
Xột dóy , (n=1,2,) được xỏc định như sau: và . 
0,25
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi luụn cú
với (3)
Thật vậy, khi thỡ theo (2), ta cú ngay (3)
Giả sử mệnh đề (3) đỳng với . Khi đú 
Vậy (3) đỳng với . 
0,25
Tiếp theo ta chứng minh . Thật vậy, ta thấy ngay . Do đú:, suy ra dóy tăng ngặt. 
Dóy tăng và bị chặn trờn nờn hội tụ. Đặt thỡ với , suy ra . Vậy . Do đó từ (3) suy ra với mọi (đpcm).
0,25