Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 17

Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11 
 Mụn thi: toáN THPT
Thời gian làm bài: 180 phỳt
Bài 1 (2 điểm). 
 1. Giải phương trỡnh: a).
 2. Giải phương trỡnh: 
Bài 2 (3 điểm). 
 1. Cho dóy số xỏc định bởi .
 Tỡm cụng thức số hạng tổng quỏt của dóy số.
 2. Cho n là số tự nhiờn, Chứng minh đẳng thức sau:
 3. Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 5 chữ số khỏc nhau và khỏc 0 mà trong mỗi số luụn cú mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
Bài 3 (2 điểm). 
 1. Cho dóy số xỏc định bởi: 
 Tớnh : 
 2. Cho hàm số :
 Tớnh đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
 Bài 4 (3 điểm). 
 Cho tam giỏc đều ABC 
 1. M là một điểm nằm trong tam giỏc sao cho . Hóy tớnh gúc 
 2. Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của cỏc cạnh
 AC và SB . Trờn đường thẳng AS và CK ta chọn cỏc điểm P,Q sao cho PQ// BI 
 Tớnh độ dài PQ biết cạnh của tứ diện cú độ dài bằng 1.
---------- Hết ----------
 Họ và tờn :.......................................................... Số bỏo danh :.......................................
Bài
 Lời giải
 Điểm
Bài 1
 1.(1 đ) 
 Điều kiện : 
Ta cú : 
Do đú phương trỡnh đó cho tương đương với :
 ( Thỏa điều kiện (1) )
Giải cỏc phương trỡnh trờn ta được :
2. (1 đ)
ĐK: 
So với điều kiện là nghiệm phương trỡnh đó cho.
0.25đ
 0.25đ
0.25 đ
 0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
Bài 2
1. (1 đ) Đặt 
Ta cú và hay 
Thay vào giả thiết, ta được: 
Suy ra: ( Do )
Hay 
Đặt . Ta cú: 
Từ đú 
Hay 
Theo cỏch đặt ta cú: .
Suy ra: 
Do đú 
2. (1 đ)
Ta cú với, 
Đạo hàm hai vế của (1) ta được 
Suy ra 
Đạo hàm hai vế của (2) ta được 
Thay vào (3) ta được đpcm.
3. (1 đ) Từ giả thiết bài toỏn ta thấy cú cỏch chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số cú chữ số 0 đứng đầu ) và =10 cỏch chọn hai chữ số lẻ cú . = 100 bộ 5 số được chọn.
Mỗi bộ 5 số như thế cú 5! số được thành lập cú tất cả ..5! = 12000 (số).
Mặt khỏc số cỏc số được lập như trờn mà cú chữ số 0 đứng đầu là (số).
Vậy cú tất cả 12000 – 960 = 11040 số thoả món YCBT.
 0.25 đ
 0.25 đ 
 0.25 đ
 0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
Bài 3
1.(1 đ)
 Ta cú: 
 Mặt khỏc : 
Vậy: 
Do đú: 
2. (1 đ)	
Mặt khỏc với , ta cú 
Vỡ liờn tuc trờn R nờn từ đú suy ra liờn tục tại 
0.25 đ
0.25đ
0.25đ
0.25 đ
0.5 đ
0.25 đ
0.25 đ
Bài 4
 1.(1 đ) 
 Dựng phộp quay tõm C gúc quay thỡ ta cú: 
 Vậy .
 Ta cú MB = M’A, MC = M’C = MM’, Vậy MB2 + MC2 = MA2 .
 Suy ra M’A2 + MM’2 = MA2 .
0.25 đ
0.25đ
0.25 đ
0.25đ
2.(2 đ) 
Ta cú PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK và song song với BI và mặt phẳng chứa SA và song song với BI.
Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KE / / BI, CE cắt SA ở P
Qua A kẻ A F // BI (F thuộc BC) , CK cắt S F tại Q. 
 Vậy PQ // BI 
Ta cú I, E là cỏc trung điểm của AC và SI 
Mà 
Ta cú 
Vậy 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Chỳ ý: Học sinh giải cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.