Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 18

S GD&ĐT HÀ TĨNHỞ
TR NG THPT Đ C THƯỜ Ứ Ọ
Đ THI CH N H C SINH GI I TOÁN 11Ề Ọ Ọ Ỏ
NĂM H C 2008 - 2009Ọ
Th i gian: 180 phỳt ờ (Khụng k th i gian giao đ )ể ờ ề
Đ BÀIỀ
Cõu 1. (2,0 đi m)ể Gi i ph ng trỡnh ả ươ
3 3 31 1 5x x x+ + − =
Cõu 2. (1,5 đi m)ể Ch ng minh r ng v i m i s th c x, y, z khỏc 0, ta cú:ứ ằ ớ ọ ố ự
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + ≥ + +
Cõu 3. (2,0 đi m)ể Cho dóy s (uố n) xỏc đ nh b i: ị ở 1
1
11
10 1 9n n
u
u u n, n N.+
=
= + − ∀ ∈
Tỡm cụng th c tớnh uứ n theo n.
Cõu 4. (2,0 đi m)ể T ng c a m nh ng s nguyờn d ng liờn ti p b ng 2008. Xỏcổ ủ ữ ố ươ ế ằ 
đ nh cỏc s đú.ị ố
Cõu 5. (2,5 đi m)ể Cho hỡnh lăng tr tam giỏc ABC. A’B’C’. G i I, J, K l n l t làụ ọ ầ ượ 
tõm c a cỏc hỡnh bỡnh hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’.ủ
a) Ch ng minh r ng (IJK) song song v i cỏc m t đỏy.ứ ằ ớ ặ
b) Ch ng minh r ng cỏc đ ng th ng AJ, CK, BI đ ng quy.ứ ằ ườ ẳ ồ
_________________H tế _________________
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐI MỂ
Cõu 1. (5 đi m)ể
( )233 3 3 33
2 33 3
1 1 5 2 3 1 1 1 5
51 5 4 5 0 0
2
5
2
x x x x x x x x
x x x x x x ;x .
Thử lại ta thấy ph ơng trình có 3 nghiệmư : x = 0; x = .
+ + − = ⇔ + − + + − =
⇒ − = ⇒ − = ⇒ = = ±
±
Cõu 2: (4 đi m)ể
Ta cú: 
2
2
2
2
2
2
1 2
1 2
2
x x
y y
y y
z z
z z
x x
 
+ ≥   
 
+ ≥   
 ≥   
C ng ba b t đ ng th c trờn, ta đ c:ộ ấ ẳ ứ ượ
2 2 2
2 2 2
3 2
 
+ + + ≥ + +  
x y z x y z
y z x y z x
 (1)
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ba s d ng, ta đ c:ụ ấ ẳ ứ ố ươ ượ
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
3 3x y z x y z. .
y z x y z x
+ + ≥ = (2)
T (1) và (2) suy ra: ừ
2 2 2
2 2 2
2 2x y z x y z
y z x y z x
   
+ + ≥ + +      
T đú ta cú b t đ ng th c c n ch ng minh.ừ ấ ẳ ứ ầ ứ
Cõu 3: 
Ta cú:
1
2
3
11 10 1
10 11 1 9 102 100 2
10 102 1 9 2 1003 1000 3
u
u .
u . .
= = +
= + − = = +
= + − = = +
D đoỏn uự n = 10n + n (1)
Ch ng minh:ứ
Ta cú: u1 = 11 = 101 + 1 cụng th c (1) đỳng v i n = 1.ứ ớ
Gi s cụng th c (1) đỳng v i n = k ta cú: uả ử ứ ớ k = 10k + k
Ta cú: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1). Cụng th c (1) đỳng v i n = k + 1.ứ ớ
V y uậ n = 10n + n, n .∀ ∈Ơ
Cõu 4. (4 đi m)ể
Gi s t ng c a m s nguyờn d ng liờn ti p b t đ u t s k b ng 2008:ả ử ổ ủ ố ươ ế ắ ầ ừ ố ằ
k + (k + 1) + (k + 2) +  + (k + m - 1) = 2008 
A B
M
D I N C
H
( )
( ) 4
1
2008
2
2 1 4016 2 251
m m
m k
m k m .
−
⇒ + =
⇒ + − = =
N u m l ế ẻ ⇒ 2k + m - 1 ch n. Khi đú: m = 251, 2k + m - 1 = 2ẵ 4 (khụng x y ra)ả
N u m ch n ế ẵ ⇒ 2k + m - 1 l . Ta cú: ẻ 4
2 1 251
2
k m
m
+ − =
=
16
118
m
k
=
⇒ 
=
V y cỏc s c n tỡm là 118, 119,133.ậ ố ầ
Cõu 5. (3 đi m)ể
Trờn tia BI, l y đi m H sao cho BH = a. Khi đú BH = AB = BC nờn ta cú:ấ ể 
ABM HBM (c.g.c) và  CBN =  HBN(c.g.c).∆ = ∆ ∆ ∆ Do đú: MH = AM và NH = CN. 
ã ã ã ã0 090 90BHM BAM  và BHN BCN .= = = = Suy ra M, H, N th ng hàng, BI vuụng gúcẳ 
v i Mn t i H và MN = AM + NC.ớ ạ
V y ậ ( )1 1
2 2BM N
S BH.M N a AM NC .= = +
Vỡ AM = 3MD nờn 
1 3
4 4
M D a;AM a.= = 
Đ t NC = x, ỏp d ng đ nh lý Pitago cho ặ ụ ị
tam giỏc vuụng MDN, ta cú:
( ) ( )
( )
2 22 2 2 2
2 2
2
2
3
4 16 7
1 3 25
2 4 7 56BM N
M N M D DN AM NC M D DC NC
a a
a x a x x
a
Suy ra:S a a a .
= + ⇔ + = + −
 
⇔ + = + − ⇔ =  
 
= + =  