Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
Đề chính thức
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2013-2014
 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề)
 Đề này có 05 câu, gồm 01 trang
Câu I. (Khối A: 4,0 điểm; Khối B, D: 5,0 điểm ) 
Cho hàm số , ( m là tham số)
Khi , hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình .
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện .
Câu II. (Khối A: 4,0 điểm; Khối B, D: 5,0 điểm ) 
Giải phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
Câu III. ( 4,0 điểm)
1. Tìm giới hạn sau: 
2. Từ các chữ số lập các số có ba chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẩu 
 nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để lấy được số không chia hết cho 3.
Câu IV. ( 6,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho đường tròn có tâm là và điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua cắt tại hai điểm sao cho tam giác có diện tích .
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . lần lượt là trung điểm của và , là giao điểm của với , biết vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Tính và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo a. 
Câu V. ( 2,0 điểm) 
	 Cho là các số thực dương thoả mãn: 
	 Chứng minh rằng: 
------------------------------------------------ HẾT -----------------------------------------------
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN LỚP 11
(Đáp án gồm 04 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
I
1. ( 2,5 điểm)
(4
điểm)
Với ta có hàm số , 
Gọi là hệ số góc của tiếp tuyến, là toạ độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số. 
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : 
0,75
nên Hay 
0,75
+) phương trình tiếp tuyến là 
+) phương trình tiếp tuyến là 
Vậy có hai tiếp tuyến là : và 
1.00
2. ( 1,5 điểm)
có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt 
.
0,75
 (do )
Theo giả thiết 
0,75
II
1. ( 2,0 điểm) 
(4
điểm)
Điều kiện : 
1,00
Đáp án Toán 11- Trang 1
So với điều kiện ta được nghiệm của pt là : 
1.00
2. ( 2,0 điểm) 
Điều kiện : 
Đặt . Hệ trở thành 
0,75
+) Với 
ta có
0,50
+) Với 
ta có
0,50
Thử lại ta thấy tất cả các nghiệm đều thoả mãn. 
Vậy hệ có 4 nghiệm 
0,25
III
1. ( 2,0 điểm)
(4
điểm)
0,50
0,50
0,50
0,50
2. ( 2,0 điểm)
+) Tìm số có ba chữ số khác nhau lập được từ tập 
Số cần tìm có dạng 
Chọn có 5 cách. 
Chọn 2 trong 5 số còn lại của xếp vào hai vị trí b, c có cách.
Vậy có (số)
1,00
+) Tính số lập được chia hết cho 3.
Số cần tìm có dạng , 
Đáp án Toán 11- Trang 2
Xét các tập con gồm 3 phần tử của tập , ta thấy chỉ có các tập sau thoả mãn điều kiện tổng các chữ số chia hết cho 3 là: 
Khi mỗi trường hợp lập được 4 số thoả mãn yêu cầu. 
Khi mỗi trường hợp lập được 6 số thoả mãn yêu cầu. 
Vậy có (số)
Suy ra số không chia hết cho 3 là (số)
Xác suất cần tính là 
1,00
IV
1. ( 3,0 điểm)
(6
điểm)
(C) có tâm  ; Đường thẳng đi qua có phương trình 
 . Giả sử cắt (C) tại hai điểm thoả mãn . Gọi H là hình chiếu của I trên ABH là trung điểm của AB
Ta có 
1,00
+) 
Pt là 
1,00
+) 
Pt là 
Vậy có 4 đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
1,00
2. ( 3,0 điểm)
Ta có 
 mà 
Hay 
Trong tam giác DCN ta có 
D
S
B
M
A
N
H
C
I
K
Đáp án Toán 11- Trang 3
1,00
Từ H kẻ , do , từ đó suy ra 
góc giữa và là góc .
Trong tam giác vuông ta có .
Trong tam giác vuông ta có .
1,00
Gọi K là trung điểm của 
 Gọi E là giao điểm của BK và CN, từ H kẻ ,
 do 
 Từ (1) và (2) suy ra 
 Ta có mà K là trung điểm của DC nên E là trung điểm của HC 
 . Trong tam giác vuông ta có
Vậy .
1,00
V
( 2 điểm)
(2
điểm)
Từ giả thiết , 
 Đặt 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau:
 (*).
0,50
Do ab + bc + ca = 3 nên 
VT (*) = 
 =
Theo BĐT AM-GM ta có 
 (1) 
0.75
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: 
 (2), (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được 
Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được :
a + b + c ≥ = 3.
Đáp án Toán 11- Trang 4
Đẳng thức xảy ra khi hay (Đpcm)
0,75
Chú ý: Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.