Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 20

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (1,5 điểm).
Giải phương trình: .
Câu 2 (3,0 điểm).
1. 	Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.
2. 	Chứng minh đẳng thức sau:
.
Câu 3 (2,5 điểm).
1. 	Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm thực phân biệt. Hãy tìm 3 nghiệm đó.
2. 	Cho dãy số được xác định bởi: , với mọi . 
Chứng minh rằng dãy số xác định như trên là một dãy số bị chặn.
Câu 4 (3,0 điểm).
1. 	Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng , các cạnh bên bằng nhau và bằng (). Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo .
2. 	Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng đường thẳng SB vuông góc với đường thẳng SC, biết rằng .
3. 	Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện và một điểm X thay đổi trong không gian. Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng đạt giá trị nhỏ nhất.
—Hết— 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......; Số báo danh.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG CHUYÊN
NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
———————————
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
1,5 điểm
Điều kiện: (*)
Phương trình đã cho tương đương với: 
0,25
0,5
+ Với 
0,25
+ Với 
0,25
Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là:
0,25
2
1
1,5 điểm
Số các số tự nhiên có 5 chữ số là 
Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là: 
0,5
Ta có chia hết cho 7 khi và chỉ khi chia hết cho 7. Đặt là số nguyên khi và chỉ khi 
0,5
Khi đó ta được: 
 suy ra số cách chọn ra t sao cho số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286. 
Vậy xác suất cần tìm là: 
0,5
2
1,5 điểm
Xét đẳng thức 
0,5
+) Ta có suy ra hệ số của số hạng chứa là 
0,5
+) Ta có 
suy ra hệ số của số hạng chứa là
Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.
0,5
3
1
1,5 điểm
Đặt ; tập xác định suy ra hàm số liên tục trên . Ta có 
0,25
 suy ra
0,5
. Từ 3 bất đẳng thức này và tính liên tục của hàm số suy ra pt có ba nghiệm phân biệt thuộc .
0,25
Đặt thay vào pt ta được:
, kết hợp với ta được . Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm:
.
0,5
2
1,0 điểm
Nhận xét. Với mỗi số nguyên dương n ta có: 
Thật vậy, ta có 
 suy ra nhận xét được chứng minh.
Trở lại bài toán, từ công thức truy hồi ta được: 
0,5
Ta có với mọi n (theo nhận xét trên) (1)
0,25
Mặt khác với mọi n (theo nhận xét trên) (2). Từ (1) và (2) suy ra dãy số đã cho bị chặn.
0,25
4
1
1,0 điểm
Gọi . Do nên các tam giác SAC, SBD cân tại đỉnh S nên SI vuông góc với AC, BD suy ra SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Dễ thấy mọi điểm nằm trên đường thẳng SI cách đều các đỉnh A, B, C, D. 
0,25
Trong tam giác SIC, dựng trung trực của cạnh SC cắt đường thẳng SI tại O suy ra .
0,25
Ta có .
Vậy .
0,5
2
1,0 điểm
Gọi K là giao điểm của đường thẳng AH và BC; trong mặt phẳng (SBC) gọi D là giao điểm của đường thẳng qua S, vuông góc với SC. Ta có BC vuông góc với SH và SA nên BC vuông góc với mặt phẳng (SAH) suy ra BC vuông góc với SK.
0,25
Trong tam giác vuông SAK ta có , kết hợp với giả thiết ta được (1)
0,5
Trong tam giác vuông SDC ta có (2)
Từ (1) và (2) ta được , từ đó suy ra hay suy ra SB vuông góc với SC.
0,25
3
1,0 điểm
Gọi G là trọng tâm của tứ diện; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD. Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên suy ra , tương tự ta chứng minh được và đường thẳng PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC, AD. Từ đó suy .
0,25
Ta có 
0,5
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X trùng với điểm G. Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi X là trọng tâm của tứ diện ABCD.
0,25