Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 22

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi:4/4/2013 
Câu 1. a) Giải phương trình: 
 b)Tính giới hạn sau
Câu 2. a) Cho khai triển:
Chứng minh đẳng thức sau:
	b) Tính tổng:
Câu 3. a) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao và . Tính diện tích tam giác ABC.
b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn . Tính các góc của tam giác đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4. Cho hình chóp SABC có và tam giác ABC vuông tại B. Biết và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng với . Tính độ dài SC theo a.
Câu 5. Cho dãy số thỏa mãn: 
Tìm .
----------------------------------------------------HẾT ----------------------------------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay,
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11
Câu
Đáp án
Điểm
1a)
3,0
điểm
Điều kiện: (*). 
0,5
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
0,5
0,5
TH1: 
0,5
TH2: 
0,5
Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm 
0,5
1b)
3,0
điểm
1,0
Chứng minh công thức: (1). 
1,0
Áp dụng (1) ta thu được 
.
1,0
2a)
2,5
điểm
Xét từ khai triển trên nhân hai vế với ta có:
 (2)
1,0
 Hệ số của trong vế trái bằng 
0,5
Hệ số của trong vế phải bằng 
Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh
1,0
2b)
2,0
điểm
Ta có (3)
0,5
Áp dụng 2 lần công thức (3) ta được: 
0,5
Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có
0,5
Vậy .
0,5
3a)
2,5
điểm
Xét hai trường hợp:
+) B và C không tù. Khi đó
Suy ra 
A
 B
C
B’
C’
H
1
1,0
+) B hoặc C tù
Do nên và C tù 
Còn (giống trường hợp 1) Suy ra 
0,5
3b)
2,5
điểm
Ta có 
0,5
 (3)
( Do và ). 
Dấu bằng trong (3) xảy ra khi hoặc 
0,5
Từ đó 
0,5
 (4). 
Dấu bằng trong (4) xảy ra khi 
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi 
0,5
0,5
4)
2,5
điểm
Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB.
Ta chứng minh được 
. 
Suy ra vuông tại K và . 
Do đó 
C
A
B
S
H
K
x
a
1,0
Đặt . Trong tam giác vuông SAC ta có 
Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có 
1,0
Ta có , vì x > 0. Vậy 
0,5
5)
2,0
điểm
Dễ thấy . Từ giả thiết ta có 
0.5
Với mỗi , đặt ta có và
1,0
Do đó 
Vậy .
0,5
Lưu ý: Mọi cách giải khác mà đúng đều cho điểm tương ứng
---------------------HẾT---------------------