Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 3

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian phát đề
----------------------------------------------------------------------
Câu 1 ( 2,0 điểm). Giải phương trình sau: 
Câu 2 ( 3,0 điểm). Cho phương trình 
 ( Với m là tham số)
 a, Giải phương trình với m = 1
 b, Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 
Câu 3 (5,0 điểm).
a, Giải hệ phương trình : 
b, Tìm hệ số của trong khai triển sau: biết n là số nguyên thoả mãn hệ thức .
Câu 4 .(4,0 điểm). Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC.
a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : 
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C1) : ,đường tròn (C2) : .
a, Tìm giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2) .
b, Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
Câu 6 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) .
a, Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b, M là điểm di động trên đoạn BC và BM =x ,K là hình chiếu của S trên DM . Tính độ dài đoạn SK theo a và x . Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK.
............................... Hết.....................................
Họ và tên thí sinh:...................................................................SBD:.....................................
ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG
Môn : TOÁN
Câu
Đáp án
Điểm
 Câu 1
. ĐK 
Đặt ( với t . Ta có hệ PT:
+ Với x +t =0 ta được t = -x . Giải ra ta được là nghiệm.
+ Với x – t +1 = 0 ta được : x +1 = t . Giải ra ta được là nghiệm
Đáp số : , 
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
 Câu 2
a , Với m =1 ta được phương trình : 
+ 
+ 
b, Phương trình đã cho tương đương với : 
Với 
Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc thì phương trình : vô nghiệm hoặc có hai nghiệm .Từ đó ta được m 3 v m =0 .
0,5
1,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
 Câu 3
Ta được nghiệm của hệ là : 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
 Câu 4
, Tìm hệ số của trong khai triển sau: biết n là số nguyên thoả mãn hệ thức .
Từ hệ thức . Đk 
Ta được n= 8 thoả mãn .
Ta có : . Khai triển chứa x4m . 
Vậy hệ số của x4 là 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
 Câu 5
a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : 
Từ Â là góc vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A.
b, . Biến đổi về 
Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
(C1) cú tõm O(0;0),bỏn kớnh 
(C2) cú tõm I(6;0),bỏn kớnh .
Giao điểm của (C1) và (C2) là A (2;3) và B(2;-3).Vỡ A cú tung độ dương nên A(2;3) 
0,25
0,25
1,0
Vỡ A cú tung độ dương nên A(2;3)
Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0
 Gọi 
Yờu cầu bài toỏn trở thành:
0,25
0,25
0,25
*b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x-2=0
*b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt d là:x-3y+7=0
0,25
S
A
B
C
D
M
K
a, SA vuông góc với mp(ABCD) nên
SA vuông góc với AB và AD. Vậy các tam 
giác SAB và SAD vuông tại A
Lại có SA vuông góc với (ABCD) và AB 
Vuông góc với BC nến SB vuông góc với BC
Vởy tam giác SBC vuông tại C.
Tương tự tam giác SDC vuông tại D.
b, Ta có BM =x nên CM = a- x
(vì có )
= . Tam giác SAK vuông tại A nên . 
SK nhỏ nhất khi và chỉ khi AK nhỏ nhất nhỏ nhất 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
-----------------------------------------------Hết---------------------------------------------------------
Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
 - Chỉ chấm bài hình khi học sinh vẽ hình đầy đủ và chính xác