Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 5

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG 
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: ( 2 ,5 điểm)
Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4
Câu 2: ( 2 ,5 điểm)
Tìm tất cả số nguyên x sao cho x +3 chia hết cho x2 +1
Câu 3: ( 2 ,5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.
Câu 4: ( 2 ,5 điểm)
Cho a,b,c là ba số dương và a+b+c = 3.
Chứng minh rằng:
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu1:
x=kπ không phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin4x=sinx (1 điểm)
Suy ra x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5 	 	 (1 điểm)
vì x≠kπ nên pt có các nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π (1/2 điểm)
Câu2:
x+3 chia hết cho x2+1
suy ra ( x+3 )(x-3)chia hết cho x2+1	 (1 điểm)
x2+1-10 chia hết cho x2+1
-10 chia hết cho x2+1	 (1 điểm)
Từ đó tìm được x=0, x=-1, x=1, x=2	 (1/2 điểm)
Câu3:
Dùng phép quay quanh A với góc quay 600 biến M thành M’; C thành C’ (1 điểm)
Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’
MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng.	 (1 điểm)
Khi đó góc BMA=1200, góc AMC=1200
Ta được vị trí của M trong tam giác ABC	 (1/2 điểm)
Câu4:
	 (2 điểm)
Tương tự 
Rồi cộng vế theo vế ta được điều cần chứng minh	 (1/2 điểm)