Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 7

ĐỀ THI 
Môn Thi : Toán 11
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu I( 1 điểm): Giải phương trình 
Câu II(2 điểm): 
1/ Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho 3.
2/ Tìm số nguyên dương n sao cho:
Câu III(2 điểm) : Cho hàm số: (C)
1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng .
2/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị (C ) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị ( C ).
Câu IV(2 điểm): 
1/ Chứng minh phương trình :
 có ít nhất 2 nghiệm với m,n,p
2/ Tính: 
Câu V( 3 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc 
 BAD=600 ; SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD); . Gọi E là trung 
 điểm của AD, F là trung điểm của DE.
1/ Chứng minh (SOF)(SAD).
2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD).
3/ Gọi là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Xác định 
 thiết diện của hình chóp với mặt phẳng . Tính diện tích của thiết diện này.
.........................Hết.
Đáp án
Câu
Nội dung
Điểm
I
Xét phương trình: (1)
Điều kiện: 
Phương trình (1) sin2x.cosx-sin2x+4cosx-2=0
 sin2x(cosx-)+4(cosx-)=0
 (cosx-)(sin2x+4)=0
 x=
Đối chiếu với điều kiện: x=
Vậy phương trình có nghiệm: x=
0,25
0,5
0,25
II
1
.Đặt A= {1;2;3;4;5;6}
.Các tập hợp con của A gồm có 3 phần tử và tổng của các phần tử đó chia hết cho 3 là:
{1;2;3}, {1;2;6}, {2;3;4}, {1;3;5}, {1;5;6},{2;4;6}, {3;4;5}, {4;5;6}.
0,5
 Có 8 tập
Ứng với mỗi tập hợp trên ta có thể lập được
3=3.2.1=6 (số) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy có 8.6=48 số cần tìm
0,5
2
Ta có (1)
0,25
Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) theo x ta được
 (2)
0,5
Cho x=2 vào hai vế của (2) ta được:
Khi đó: 2n+1=2011 n=1005.
Vậy n=1005.
0,25
Đường thẳng song song với đường thẳng y=-9x+2011 có phương trình dạng y= -9x+m (m2011)
0,25
Đường thẳng là tiếp tuyến của (c ) hệ phương trình
 có nghiệm
0,25
Giải (2): 
Nếu x=-1 thì thế vào phương trình (1) ta được m=-7 (thỏa mãn).
 phương trình tiếp tuyến: y=-9x-7.
Nếu x=3 thì m=25( thỏa mãn)
 phương trình tiếp tuyến: y= -9x+25
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến:y=-9x-7,y= -9x+25.
0,5
2
Goi M(x0,f(x0) (c ); f(x0)= .
Đường thẳng với hệ số góc k đi qua điểm M(x0,f(x0) có phương trình là: y= k(x-x0)+ f(x0)
0,25
 là tiếp tuyến của (c ) hệ phương trình
có nghiệm
0,25
 (x-x0)[-2x2+(x0+3)x+x02-3x0]=0
= (x0+3)2+8(x02-3x0)=9x02-18x0+9=9(x0-1)2>0
Yêu cầu bài toán g(x)=0 có nghiệm kép x=x0
x0=1M(1;0)
Vậy M(1;0)
0,5
IV
1
Xét phương trình: (1)
Xét hàm số: 
 b>0 sao cho f(b) <o
 a<0 sao cho f(a) <o
0,5
 f(0)=2011>0
Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn [a;0] và [o;b];
 phương trình có ít nhất 1 nghiệm x1 (a;0) và ít nhất 1 nghiệm x2 (0;b).
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm.
0,5
2
V
1
Tam giác ABD đều nên ; OF//BE (1)
(2)
Từ (1) và (2) 
1,0
2
Kẻ tại H
O là trung điểm của AC nên 
0,25
0,5
0.25
3
Gọi K là hình chiếu của C trên mp(SAD) H là trung điểm của AK
 ;BC//AD nên mp(BCK) cắt mp(SAD) theo giao tuyến song song với AD.Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD, SA tại M và N .Thiết diện tạo thành là hình thang BCMN
MN cắt SF tại trung điểm I MN là đường trung bình của tam giác SAD