Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 8

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Mụn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phỳt
Cõu I: (2 điểm). 
 1.Giải phương trỡnh: 
 2. Tỡm cỏc nghiệm trong khoảng của phương trỡnh:
Cõu II: (3 điểm). 
Cú bao nhiờu số tự nhiờn gồm 6 chữ số khỏc nhau trong đú cú 3 số chẵn và 3 số lẻ ? 
Cho k là số tự nhiờn thỏa món 
Chứng minh rằng: . 
	 3.Cho dóy số (un) xỏc định bởi : 
 Tỡm cụng thức tớnh un theo n. 
Cõu III: (2 điểm). 
 1. Cho Pn=
	 Gọi Un là số hạng tổng quỏt của Pn. Tỡm 
 2. Tỡm giới hạn: 
Cõu IV: ( 3 điểm). 
 1. Cho tứ diện ABCD cú AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là điểm tựy ý trờn cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q. Tỡm vị trớ của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hỡnh vuụng, tớnh diện tớch thiết diện trong trường hợp đú.
 2. Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn. Xỏc định điểm M bờn trong tam giỏc sao cho 
 MA + MB + MC nhỏ nhất.
-------------Hết-------------
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11 
 hướng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
Môn: toán 11 THPT 
----------------------------------------------
Câu
Nội dung
Điểm
I
2.0
1. (1.0 đ). ĐK: Khi đú pt trở thành:
 . (1) 
0.25
 ĐK: dẫn tới
0.25
 Khi đú: 
0.25
 KL nghiệm : 
0.25
2. (1.0 đ).ĐK: (1) 
0,25
 Khi đú phương trỡnh đó cho tương đương với pt:
0.25
 Trong khoảng ta nhận cỏc giỏ trị :
 ; ; 
0.25
 Kết hợp với đk (1) ta nhận được hai giỏ trị thỏa món là:
 ; 
0,25
II
3.0
1. (1.0 đ).
 TH1: Trong 3 số chẵn đú cú mặt số 0.
 Số cỏc số tỡm được là (số). 
 0.5
 TH2: Trong 3 số chẵn đú khụng cú mặt số 0.
 Số cỏc số tỡm được là (số). 
0.25
 Đ/ số số. 
0.25
2. (1.0 đ) Dễ thấy ; và
 0.25
 0.25
 Ta cú hệ số của trong P là .
 Vỡ , mà số hạng chứa trong M.N là : 
0.25
 nờn 
0.25
3. (1 điểm)
Ta cú:
0.25
Dự đoỏn: un = 10n + n (1)
0.25
Chứng minh:
Ta cú: u1 = 11 = 101 + 1 , cụng thức (1) đỳng với n=1
Giả sử cụng thức (1) đỳng với n=k ta cú : uk = 10k + k
0.25
Ta cú: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1). Cụng thức(1) đỳng với n=k+1
Vậy un = 10n + n, 
0.25
III
2.0
1. (1 đ)
 Ta cú: 
 0.25
 Cho k=1,2,3,,n ta được
0.25
 ị Un=
0.25
 ị =
0.25
2.(1 điểm)
Ta cú .
0.25
.
0.5
Vậy 
0.25
IV
3.0
1.(2 đ)
 +) Chứng minh được MNPQ là hỡnh bỡnh hành. 
0.5
 +) MNPQ là hỡnh vuụng M là trung điểm của AB và a = c. 
 1.0
 +) Lỳc đú SMNPQ = . 
 0.5
 2.(1 đ) Dựng phộp quay quanh A với gúc quay 600 biến M thành M’; C thành C’ 
0.25
Ta cú MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’
MA+MB+MC bộ nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng.	 
0.5
Khi đú gúc BMA=1200, gúc AMC=1200
Ta được vị trớ của M trong tam giỏc ABC.	 
0.25
Chỳ ý: Học sinh giải cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa