Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 9

Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11
Mụn thi: Toỏn
Thời gian: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang và cú 5 cõu) 
Cõu I. Giải hệ phương trỡnh, hệ phương trỡnh.
1)	 	
2) 	
Cõu II. 
Cõu 3. Cho 10 thí sinh ngồi quanh một bàn tròn. Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau, mỗi loại đề có nhiều đề khác nhau. Một cách phát đề gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh nhận được một loại đề và hai thí sinh ngồi cạnh nhau không nhận được cùng một loại đề. Hỏi có bao nhiêu cách phát đề hợp lệ ?
Cõu IV. 
 Cho hỡnh chúp S.ABC cú ; SB=SC=SA, SA=a. 
K là trung điểm của BC; M là điểm nằm trờn đoạn thẳng AK. Đặt AM=x. 
 1. Chứng minh: SA (ABC)
2. Mặt phẳng (a) qua M và vuụng gúc với AK. Tỡm x để thiết diện của hỡnh chúp S.ABC cắt bởi mp(a) cú diện tớch lớn nhất .
Cõu V. 
Cho . Chứng minh: 
....................Hết:....................
HƯỚNG DẪN
Cõu I. Giải hệ phương trỡnh, hệ phương trỡnh.
1)	 	
Điều kiện: 
Vậy ta cú: 
 vụ nghiệm vỡ 
, thay vào (1) ta cú:
Kết luận: 
2) 	
Đặt: 
Ta cú: 
Cõu II. 
Đặt khi thỡ 
Vậy 
Cõu 3. Cho 10 thí sinh ngồi quanh một bàn tròn. Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau, mỗi loại đề có nhiều đề khác nhau. Một cách phát đề gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh nhận được một loại đề và hai thí sinh ngồi cạnh nhau không nhận được cùng một loại đề. Hỏi có bao nhiêu cách phát đề hợp lệ ?
Lời giải
Gọi là số cách phát đề hợp lệ cho thí sinh .
Ta viết nếu và cùng nhận được một loại đề và trong trường hợp ngược lại.
Xét một cách phát đề hợp lệ cho thí sinh .
- Nếu thì bỏ đi thí sinh ta được một cách phát đề hợp lệ cho thí sinh . Khi đó có 10-2=8 cách phát đề cho thí sinh (khác với 2 đề của ).
- Nếu thì bỏ đi hai thí sinh ta được một cách phát đề hợp lệ cho thí sinh . Khi đó có 10-1=9 cách phát đề hợp lệ cho (cụ thể , còn phát 1 trong 9 đề khác ).
Như vậy ta có hệ thức sau
.
Mặt khác, dễ tính được : .
Do đó tính được .
Cõu IV. 
 Cho hỡnh chúp S.ABC cú ; SB=SC=SA. SA=a. K là trung điểm của BC; M là điểm nằm trờn đoạn thẳng AK. Đặt AM=x. 
 1. Chứng minh: SA (ABC)
 2. Mặt phẳng (a) qua M và vuụng gúc với AK. Tỡm x để thiết diện của hỡnh chúp
 S.ABC cắt bởi mp(a) cú diện tớch lớn nhất .
1. CM: AB=AC= a ( sử dụng định lớ cosin trong tam giỏc); SAB =SAC(c-g-c) ; vuụng cõn tại A: 
2.BC AK; SA AKTrong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đt song song BC cắt AB; AC tại P, QTong mặt phẳng (SAK) qua M kẻ đt song song với SA cắt SK tại N . Từ N kẻ đt song song với BC cắt SB; SC tại F; E thiết diện là hỡnh chữ nhật PQEF : 
Ta cú : BC=a; AK= a/ 2
Tớnh được 
 M trung điểm AK
Cõu V. 
Cho . Chứng minh: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta cú:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi