Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán học

ĐỀ THI TỔNG HỢP 11+12 NĂM HỌC 2005-2006
Ngày thứ nhất (05 – 11 –2005) 180’ 
Bài 1: Chứng minh rằng:. 
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2-p+1 là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 3: Cho đoạn thẳng AB=2a. Với mọi điểm C trên đoạn thẳng AB ta dựng 2 nửa đường tròn đường kính AC,BC nằm cùng phía với đoạn thẳng AB. Một đường thẳng tiếp xúc với 2 nửa đường tròn tại 2 điểm phân biệt P,Q. Gọi I là trung điểm của PQ và O là trung điểm của AB. 
1) Chứng minh rằng bán kính đường tròn đi qua 3 điểm O,P,Qkhông bé hơn 
2) Gọi E,F là các điểm trên đoạn thẳng AB sao cho OE=OF=. Chứng minh rằng IE+IF không phụ thuộc vào vị trí điểm C
Ngày thứ hai (06 – 11 –2005) thời gian :180’
Bài 4: Tìm tất cả các hàm số sao cho với mọi cặp 2 số nguyên dương m,n ta có chia hết cho.
Bài 5: Chứng minh rằng trong 108 điểm nguyên bất kì (x;y;z) thỏa mãn ta luôn chọn được 8 điểm sao cho các đoạn thẳng AiBi đồng quy tại trung điểm các đoạn đó.
Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường trong tâm O. Các đường thẳng AB,CD cắt nhau ở E, AD,BC cắt nhau ở F, AC,BD cắt nhau ở M. Các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác CBE, CDF cắt nhau ở N . Chứng minh rằng O,M,N thẳng hàng. 
NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG 2005
Bài 1(2,0 đ):Cmr đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị cùng thuôc 1 parabol.Xác định pt của parabol đó.
Bài 2(1,5 đ):Tìm các giá trị của a để pt :ax2+1=cosx có đúng 1 no trong
Bài 3(1,5 đ)cho hàm số :f(x)= Tìm a,b để hàm có đạo hàm tại x=0.
Bài 4(2,0 đ):Cho 2 csc: thỏa mãn:
: Tìm tất cả giá trị k thỏa mãn.
Bài 5(2,0 đ):Cho tứ diện ABCD có các đường cao bằng nhau.
a,Cmr các cặp cạnh đối bằng nhau.
b,Gọi là số đo góc nhị diện cạnh AB.A,B là 2 góc ABC.Cmr:2cotgA.cotgB+cos=1
Bài 6(1,0 đ)Gọi A,B,C là 3 góc 1 tam giác và thỏa mãn:
(sinx)3=sin(A-x) sin(B-x) sin(C-x) .Xác định giá trị max của x. 
VÒNG 2:
Bài 1 Cho và CMR: 
Bài 2 Cho biet pt :x2-ny2=1 có no ng dương với 
a) Nếu n ng tố thì pt : nx2-y2=1có vô số no nguyên dương
b) Một số nguyên dương n được gọi có tính chất A nếu tồn tại số nguyên dương N2 phân tích thành tổng bình phương n số nguyên dương liên tiếp.Hỏi có vô hạn số có t/c A hay không?
Bài 3: cho hệ pt : .Hỏi hệ có no không?
Bài 4: Cho lục giác .Gọi P,Q,R là giao điểm các đường chéo chính .Các phân giác trong góc P cắt A1A2 và A4A5 tại P1 ,P2 .Các điểm P1 ,P2 ; P1 ,P2 được đ/n tương tự.Cmr: Nếu thì lục giác có các cạnh đối song song
HSG TPHCM 2005:
VÒNG 1:
Câu 1: a) Cho hàm số: .Cmr: 
b) Cho:.Tìm m để Min y>1
Câu 2: Cho x,y,z thuộc (0,1). Cm:a) 
b) 
Câu 3: Cho ai thuộc [0,1] (i=1,..,n). Cm: 
Câu 4: Cho f:Z--->R được xác định: f(n)= .Cmr: f(n)=91 với 
Câu 5: Cho hình hộp có 2 mặt đối diện là hình chữ nhật // nhau là ABCD và A'B'C'D'. Đặt , là góc nhị diện (B,AC',D). Cm: 
Câu 6: Cho hình chữ nhật ABCD, Tìm tứ giác có chu vi nhỏ nhất mà các đỉnh nằm trên các đỉnh khác nhau của hình chữ nhật. 
VÒNG 2:
Bài 1: cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=1. cm: 
Bài 2: cho dãy (an) thoả:.Tính a2006=?
Bài 3: cho 1 cấp số cộng gồm 15 số nguyên tố với công sai d>0. Cm: d>30000.
Bài 4: cho ABC có độ dài các phân giác trong nhỏ hơn 1. cm diện tích của tam giác này nhỏ hơn 
Bài 5: cho ABC nội tiếp trong đường tròn (O). 1 đường tròn (J) tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại D và tiếp xúc với cạnh AB tại E (D và E nằm khác phía đối với BC). từ C kẻ tiếp tuyến với (J) tại F. Cm EF đi qua tâm đường tòn nội tiếp ABC. 
Bài 6: có tất cả bao nhiêu hàm f liên tục từ R ---> R thỏa mãn : 
PT NĂNG KHIẾU:
1)Cho ABCD nội tiếp (O;R), K là giao điểm 2 đường chéo, M,N,P,Q là chân đường cao từ K đến AB,BC,CD,DA. Đặt s=S(ABCD); s1 =S(MNPQ); p1=P(MNPQ) 
a) cm:; b) cm: 
2) Cho dãy {an} bị chặn thỏa:.Cm {an} hội tụ?
3) Cho R là hcn 11x12. Phủ lên R bằng n hcn 1x6 hoặc 1x7 sao cho n hcn không có điểm chung trong. Tìm min n.
4) Cho X={1,2,...,200}. s là số tập con A của X thỏa: i) và ;
ii).Tìm số dư của s khi chia cho 5
5) a) a,b,c>0. cm: 
b) Tìm k max sao cho: đúng 
6) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có BC cố định, A thay đổi trên (O). M,N là giao điểm phân giác trong góc B,C với (O1) đường kính BC.
a) cm (d1) qua A và vuông góc MN qua điểm cố định.
b) H,K là giao điểm AB,AC với (O1). d2 qua A và vuông góc HK cắt (O1) tại P,Q. Cm giao điểm S của hai tiếp tuyến của (O1) tại P,Q thuộc đường cố định. 
LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH
Ngày thứ 1 (23/11/2005) 18o p
Bài 1 (4đ):Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x2+y2+1=xyz
Bài 2 (5đ):Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn P(x2)=P(x).P(x+1) với mọi số thực x
Bài 3 (5đ):Cho đa thức P(x)=x3-3x+1. Tìm số nghiệm của phương trình:P(P(x))=0
Bài 4 (6đ):Trên mặt phẳng cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn.Gọi là giao điểm của 2 đường chéo AC,BD.Gọi E,F thứ tự là hình chiếu vuông góc của I lên AB,CD. 
Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm cạnh BC,AD.Ta kí hiệu .Cm:
Ngày thứ 2 (24/11/2006) 18o p
Bài 1 (5đ):Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện :f(xf(y))=f(xy)+x với mọi số thực không âm x,y
Bài 2 (4đ):Cho các số thực dương a,b,c,d. Cmr: 
Bài 3 (5đ):Cho đa thức P(x) bậc lớn hơn 1 và có các hệ số hữu tỉ. Giả sử có dãy vô hạn các số hữu tỉ (an) thỏa mãn P(an+1)=anvới mọi số tự nhiên n. Chứng minh rằng dãy số nêu trên có vô số các phần tử bằng nhau
Bài 4 (6đ):Cho tứ diện ABCD. Ta kí hiệu các góc : BC=a; CA=b; AB=CD=cvà S là dt ABC.Biết rằng . Hãy tìm tổng các cosin của 6 góc nhị diện cạnh của tứ diện ABCD
NGUYỄN DU –BUÔN MÊ THUẬT
Bài 1 : Chứng minh phương trình:9x3-36x2+45x-17 có ba nghiệm là độ dài ba cạnh của một tam giác tù.
Bài 2: Cho dãy số (xn) xác định bởi : 
Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn 
Bài 3: a) Cho ba đường tròn cùng tâm O, bán kính tương ứng là R; 2R; 3R. Trên lần lượt lấy ba điểm A,B,C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B và điểm O thuộc miền trong tam giác ABC.Tính diện tích tam giác ABC theo R
b) Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng (d) cố định tại H .M,N là hai điểm di động trên (d) sao cho .Từ M,N kẻ các tiếp tuyến MA,NB với (O) .Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định .
Bài 4: Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện : P(2006)=2006! và
xP(x-1)=(x-2006)P(x) .Cmr: f(x)=(P(x))2+1 bất khả quy trong Z[x]. 
Bài 5: Tổng m số nguyên dương chẵn khác nhau và n số nguyên dương lẻ khác nhau là 2001.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=5m+2n.
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI
Ngày thứ nhất: Thời gian 3 giờ 
Bài 1: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn xy+yz+zx=7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P= 
Bài 2:Cho hai đa thức và (). P(x) chia hết cho Q(x) và Q(x) có m nghiệm thực ( không nhất thiết phân biệt). Giả sử tồn tại mà . Chứng minh rằng tồn tại mà .
Bài 3:Cho và là hai đường tròn cắt nhau tại A và B. Đường thẳng d bất kì quay quanh B cắt (O1) và (O2)tại C và D ( B nằm giữa C và D). Gọi M là trung điểm của CD. AM cắt (O2) tại điểm thứ 2 là P. Gọi Q là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng vuông góc với O1M tại M. Chứng minh rằng PQ đi qua một điểm cố định. 
Bài 4: Cho p là số nguyên tố lẻ p>3.
a) Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương x;y mà thỏa mãn: là số nguyên dương và không chia hết cho 4.
b) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương tồn tại cặp số nguyên dương (x;y)mà x2+y2+1 chia hết cho pn
Ngày thứ 2: Thời gian 3 giờ 
Bài 1: Tìm tất cả các số thực mà dãy số (xn) xác định bởi xn=sin(n)có giới hạn 
Bài 2: Có 2005 hộp bi được sắp xếp theo thứ tự ( theo chiều kim đồng hồ) trên 1 đường tròn. Ban đầu ở hộp 1 có 2005 hòn bi ( các hộp còn lại không có). Một bước chuyển bi được thực hiện như sau: nếu ở một hộp nào đó có không ít hơn hai bi thì ta lấy hai bi từ hộp đó và chia sang hai hộp bên cạnh mỗi hộp một bi.
a) Hỏi bằng cách đó ta có thể chuyển hơn nửa số bi sang hộp 2 hay không.
b) Hãy xác định một cách chuyển bi mà trò chơi kết thúc sau hữu hạn lần chuyển bi.
c) Chứng minh rằng trò chơi luôn kết thúc sau hữu hạn lần chuyển bi.
Bài 3: Cho tam giác ABC. AA’, BB’, CC’ là các đường phân giác đồng quy tại I. Giả sử bán kính đường trong nội tiếp của các tam giác IA’C’ và IA’B’ bằng nhau. Chứng minh rằng AB=AC
BÀI KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN SỐ 2
ngày 7 tháng 12 năm 2005 -thời gian: 100 phút
Bài 1: Giải hệ phương trình: 
Bài 2: Cho hình vuông ABCD và các điểm E,F nằm trên các cạnh CB,CD. Các đoạn AE, AF cắt BD lần lượt tại P,Q. Giả sử rằng BE khác DF và BP.CE=DQ.CF. Cmr: các điểm P, Q,F, E,C cùng thuộc một đường tròn
Bài 3: Cho các số thực không âm a,b, c, d. Chứng minh rằng: