Đề thi chọn học sinh giỏi môn toán khối 10 năm học 2010-2011 thời gian: 120 phút

Trường THPT Trưng Vương - Quy Nhơn
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian: 120 phút.
Bài 1: (4 điểm ) Cho số nguyên A là tổng bình phương của hai số nguyên dương liên tiếp.
Chứng minh rằng A không thể là tổng lũy thừa bốn của hai số nguyên dương liên tiếp.
Bài 2: ( 4 điểm ) Giải phương trình: 
.
Bài 3: ( 4 điểm ) Giải hệ phương trình :
Bài 4: ( 4 điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao là ha;hb;hc và r là bán kính đường tròn 
	nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng ha+hb+hc 9r.
Bài 5: ( 4 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E):
Có hai tiêu điểm F1; F2. Gọi M là điểm thay đổi trên (E). I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MF1F2. Chứng minh rằng I nằm trên một elip khi M thay đổi.
Trường THPT Trưng Vương - Quy Nhơn
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian: 120 phút.
Bài 1: (4 điểm ) Cho số nguyên A là tổng bình phương của hai số nguyên dương liên tiếp.
Chứng minh rằng A không thể là tổng lũy thừa bốn của hai số nguyên dương liên tiếp.
Bài 2: ( 4 điểm ) Giải phương trình: 
.
Bài 3: ( 4 điểm ) Giải hệ phương trình :
Bài 4: ( 4 điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao là ha;hb;hc và r là bán kính đường tròn 
	nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng ha+hb+hc 9r.
Bài 5: ( 4 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E):
Có hai tiêu điểm F1; F2. Gọi M là điểm thay đổi trên (E). I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MF1F2. Chứng minh rằng I nằm trên một elip khi M thay đổi.
Đáp án và biểu điểm
Câu
Đáp án
 Điểm
1
Dùng phương pháp phản chứng
Giả sử A=n2+(n+1)2 =a4+(a+1)4
Khi đó ta có n2+n+1=(a2+a+1)2 là số chính phương.
Mà n2<n2+n+1<(n+1)2 điều này vô lí.
2
1
1
2
Điều kiện x-2.
x=-2 không phải là nghiệm của phương trình.
 Chia hai vế cho x+2
Đặt t= với t0 ta có phương trình
 2t2-3t-2=0 chọn nghiệm t=2 .
Kết luận tập nghiệm là 
1
1
1
1
3
Do x=0 không phải là nghiệm nên từ phương trình đầu suy ra . 
Thế vào phương trình sau ta có 
(x2-1)(2x2-1)=(x+1)(3x-1)
Có x=0(loại) ; x=1 ; x=-2
Hệ có hai nghiệm (1 ;-1) ; (-2 ;-5/2)
1
1
1
1
4
Dùng công thức tính diện tích 
Suy ra :
Dùng bất đẳng thức Cô- si ta có điều cần chứng minh.
2
2
5
Gọi I(X :Y)
Dùng công thức S=pr suy ra được và x=. Thế vào phương trình của (E) ta có 
Vậy I ở trên một elip
2
1
1
DANH SÁCH DỰ THI CHỌN HS GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10
STT
Họ và tên
Lớp
1
Hoàng Công Hiển
10T
2
Lê Đại Long
3
Nguyễn Thúy An
4
Nguyễn Thái Anh nhật
5
Phạm Thị Thanh Huyền
6
Phạm Duy Nam
10A3
7
Nguyễn Hoài Nam
8
Phan Ngô Đức lợi
9
Trần Vũ sang
10
Phạm Ngọc Hiếu
10A2
11
Nguyễn Thị Hoàng Oanh
12
Mai Kim Hồng
13
Phạm Thị Thoa
10A4
14
Đặng Tấn Phúc
15
Phạm Đoàn Quang Minh