Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Ba Thước (Có đáp án)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA THƯỚC - NĂM 2019
(4,0 điểm)
Cho biểu thức: , với .
Rút gọn biểu thức .
b) Tìm các giá trị của để 
 (4,0 điểm) 
a. Cho 3 số thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức:
b. Giải phương trình: .
(4,0 điểm) 
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: .
b) Tìm số tự nhiên để số là số nguyên tố biết: .
(2,0 điểm) 
Cho tam giác vuông ở , , , .
a) Chứng minh rằng: , .
b) Chứng minh rằng: .
c) Chứng minh rằng: .
d) Cho .Tim GTLN của diện tích tứ giác .
(2,0 điểm)
Cho là các số thức dương thay đổi và thỏa minh điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức: .
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA THƯỚC - NĂM 2019
Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức: , với .
Rút gọn biểu thức .
b) Tìm các giá trị của để 
Lời giải
a. 
b) 
Vậy với thì .
Câu 2 	(4,0 điểm) 
a. Cho 3 số thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức:
b. Giải phương trình: .
Lời giải
a) Ta có .
Lại có 
 .
b) ĐK 
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
Đặt , thì ta có phương trình:
TH1: thì (Phương trình này vô nghiệm).
TH2: thì .
Vậy phương trình đa cho có 2 nghiệm là 
Câu 3 	(4,0 điểm) 
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: .
b) Tìm số tự nhiên để số là số nguyên tố biết: .
Lời giải
a) Ta có: 
Để nguyên dương thì và là 1 số chính phương.
 vì nguyên dương nên , .
b) Ta có 
Lại có: 
Với là số nguyên tố.
Câu 4 	(6 điểm)
Cho tam giác vuông ở , , , .
a) Chứng minh rằng: , .
b) Chứng minh rằng: .
c) Chứng minh rằng: .
d) Cho .Tim GTLN của diện tích tứ giác .
Lời giải
a) Xét và có:
 chung;
.
Vậy (g.g)
Suy ra: 	(1)
Tương tự ta có: 	(2)
Từ (1) và (2): 
Ta có:
 	(3)
Lại có: 	(4)
Từ (3) và (4) : suy ra 
b) Ta có vuông ở có là đường cao 
Lại có vuông tại có là đường cao .
Suy ra 
c) Ta có ;
Tương tự, . Do đó
.
Vậy .
d) Gọi là trung điểm của . Ta có .
Mà . Tương tự, . Do đó
.
Vậy lớn nhất khi hay vuông cân tại .
Câu 5 	(2,0 điểm)
Cho là các số thức dương thay đổi và thỏa minh điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức: .
Lời giải
Ta có: . Tương tự, , .
.
Đặt , , .
Suy ra: , , .
Do đó: 
 .
Do 
Hoặc . Tương tự, .
Dấu xảy ra . Vậy giá trị nhỏ nhất của .