Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Ba Vì (Có đáp án)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN BA VÌ
NĂM HỌC: 2019 - 2020
Câu 1: 1) Cho biểu thức 
a) Rút gọn 
b) Tìm các giá trị của để 
c) Tìm các giá trị của để 
2) Tìm số tự nhiên để giá trị của biểu thức là một số nguyên tố.
Câu 2: 1) Giải các phương trình: 
2) Cho ba số thỏa mãn 
Tính giá trị của biểu thức 
Câu 3: 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên cho trước, không tồn tại số nguyên dương sao cho 
2) Cho ba số dương thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: 
Câu 4: Cho tam giác vuông tại , đường cao , lấy điểm bất kì trên , kẻ vuông góc với ( thuộc ).
a) Chứng minh 
b) Cho , diện tích tam giác bằng . Tính các cạnh của tam giác .
c) Khi điểm chạy trên thì trung điểm của chạy trên đường nào? 
Câu 5: Cho nhọn. Phân giác của và cắt nhau ở . Trên tia lấy điểm sao cho . Trên tia lấy sao cho . Chứng minh thẳng hàng.
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH GIANG - NĂM 2019
Câu 1: 1) Cho biểu thức 
a) Rút gọn 
b) Tìm các giá trị của để 
c) Tìm các giá trị của để 
2) Tìm số tự nhiên để giá trị của biểu thức là một số nguyên tố.
Lời giải
Cho biểu thức 
Sau khi biến đổi thu gọn ta được 
Với với ( không thỏa mãn đkxđ) 
 và 
Ta có : để A là số nguyên tố thì 
-Nếu (loại ) 
-Nếu với n=0 thì A=-2 (loại ) với n=4 thì A=2 (nhận ) 
-Thử tương tự cho các trường hợp n-2=-1 và cho ra n=1 là thỏa 
Vậy với n=4 hoặc n=1 là giá trị cần tìm 
Câu 2: 1) Giải các phương trình: 
2) Cho ba số thỏa mãn 
Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Giải phương trình: (1)
ĐKXĐ: 
 Ta có: 
Do đó: Vế trái (1) 
Dấu “=” xảy ra khi: (vô lí)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 Điều kiện: . Khi đó, ta có:
Do đó: 
Câu 3: 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên cho trước, không tồn tại số nguyên dương sao cho 
2) Cho ba số dương thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: 
Lời giải
Chứng minh rằng với mọi số nguyên cho trước, không tồn tại số nguyên dương sao cho 
Ta có: (1) 
Với thì: nên không phải là số chính phương mà là số chính phương với , do đó (1) không xảy ra. 
Vậy với mọi số nguyên cho trước, không tồn tại số nguyên dương sao cho 
Với , ta có:
 (do )
 (đpcm)
Câu 4: Cho tam giác vuông tại , đường cao , lấy điểm bất kì trên , kẻ vuông góc với ( thuộc ).
a) Chứng minh 
b) Cho , diện tích tam giác bằng . Tính các cạnh của tam giác .
c) Khi điểm chạy trên thì trung điểm của chạy trên đường nào? 
Lời giải
Từ (1) và (2) : 
Ta có : ( đường trung tuyến trong tam giác vuông )
 ( đường trung tuyến trong tam giác vuông ) 
 vậydi chuyển trên đường trung trực của khi chạy trên 
Câu 5: Cho nhọn. Phân giác của và cắt nhau ở . Trên tia lấy điểm sao cho . Trên tia lấy sao cho . Chứng minh thẳng hàng.
Lời giải
Lấy thuộc sao cho ; lấy thuộc sao cho 
Ta có : 
Mặt khác : 
Mà ( Tam giác )
 vậy thẳng hàng