Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Cầu Giấy (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN CẦU GIẤY NĂM 2019 - 2020
 (5 điểm)
1. Cho biểu thức ..
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa và rút gọn .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2. Cho 3 số dương thỏa mãn: .
a) Tính biết .
b) Chứng minh rằng nếu thì .
(5 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Tìm các số nguyên với thỏa mãn:
.
(3 điểm)
1. Cho 3 số thực không âm thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2. Tìm số nguyên dương để là số chính phương.
(6 điểm)
Cho tam giác đều cạnh , hai điểm lần lượt di động trên hai đoạn sao cho Đặt 
a. Biết , tính diện tích tam giác theo .
b. Chứng minh rằng .
c. Gọi D là trọng tâm tam giác là trung điểm Vẽ chứng minh rằng: 
(1 điểm)
Cho một bảng ô vuông mỗi ô vuông con có thể tô một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Biết rằng ban đầu tất cả các ô đều được tô màu xanh. Cho phéo mỗi lần ta chọn một hang hoặc một cột và thay đổi màu của tất cả các ô thuộc hàng hoặc cột đó. Hỏi sau một số hữu hạn lần đổi màu ta có thể thu được một bảng gồm đúng 2000 ô vuông màu đỏ hay không?
LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN CẦU GIẤY NĂM 2019 – 2020
(5 điểm)
1. Cho biểu thức ..
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa và rút gọn .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2. Cho 3 số dương thỏa mãn: .
a) Tính biết .
b) Chứng minh rằng nếu thì .
Lời giải:
1. 
	a) Để P có nghĩa thì:
Vậy với thì P có nghĩa.
Ta có: . với 
.
Vậy với thì .
b) Ta có: 
Để đạt giá trị nhỏ nhất thì đạt giá trị lớn nhất
 phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Lại có nên .
Giá trị nhỏ nhất của khi và chỉ khi 
Giá trị nhỏ nhất của khi và chỉ khi 
Vậy với thì có giá trị nhỏ nhất bằng 0.
2. Với 
a) Xét 
Do nên suy ra .
Vậy .
b) Ta có: 
Do và nên 
mà nên 
 (đpcm).
(5 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Tìm các số nguyên với thỏa mãn:
.
Lời giải:
1. ĐKXĐ: 
 (tm).
Vậy là nghiệm của phương trình.
2. Với ta có:
Do 17 là số nguyên tố mà suy ra và nên ta có:
TH1:
 loại do .
TH2:
 loại do .
Vậy không có giá trị nào của thỏa mãn yêu cầu.
(3 điểm)
1. Cho 3 số thực không âm thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2. Tìm số nguyên dương để là số chính phương.
Lời giải:
1. Ta có:
GTLN của T bằng 1 khi và chỉ khi .
2. Đặt ta được:
Lại có là 2 số nguyên tố cùng nhau.
Thật vậy, giả sử ta có:
 chia hết cho suy ra = chia hết cho 
 chia hết cho 
Suy ra chia hết cho 
 chia hết cho 
 chia hết cho 
Mà nên . Từ đó suy ra hay là 2 số nguyên tố cùng nhau.
Để là số chính phương thì và đều là số chính phương.
Đặt Thay vào ta được:
Vì ta có bảng sau:

1
3
-21
-7

21
7
-1
-3

Suy ra

6
8
-16
-2

26
12
4
2

Lại có: hay:

32
20
-12
0

4 (tm)
2,5
-1,5
0
Ta được . Trả lại ẩn:
 (tm).
Vậy với x = 2 thì là số chính phương.
(6 điểm)
Cho tam giác đều cạnh , hai điểm lần lượt di động trên hai đoạn sao cho Đặt 
a. Biết , tính diện tích tam giác theo .
b. Chứng minh rằng .
c. Gọi D là trọng tâm tam giác là trung điểm Vẽ chứng minh rằng: 
Lời giải:
a) Ta có: 
 	(1)
Lại có: . Thay vào (1) ta được:
Diện tích tam giác là: (đvdt).
b) Do 
	(2)
Giả sử 
Lấy điểm sao cho vàta có:
	(3)
Từ (2) và (3) suy ra (đpcm).
c) Trên tia BA lấy điểm sao cho .
Do (c.g.c) (c.c.c) 
 (ch – gn) (đpcm).
(1 điểm)
Cho một bảng ô vuông mỗi ô vuông con có thể tô một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Biết rằng ban đầu tất cả các ô đều được tô màu xanh. Cho phéo mỗi lần ta chọn một hang hoặc một cột và thay đổi màu của tất cả các ô thuộc hàng hoặc cột đó. Hỏi sau một số hữu hạn lần đổi màu ta có thể thu được một bảng gồm đúng 2000 ô vuông màu đỏ hay không?
Lời giải:
	Trước hết ta chứng minh với mọi cách chọn 2000 ô trên bảng đã cho luôn tồn tại một bảng con chứa đúng 1 trong 2000 ô này.
	Thật vậy, vì số hàng lớn hơn số ô được chọn nên tồn tại 2 hàng liền nhau mà không chứ ô nào và có chứa ít nhất một ô đã chọn.
	Vì số cột cũng lớn hơn số ô được chọn nên tồn tại 2 ô cạnh nhau trên mà chỉ có đúng một ô đã chọn.
	Gọi là 2 ô nằm trên và cùng cột với . Bảng con gồm 4 ô chỉ có đúng một ô được chọn.
	Giả sử ta có thể thu được bảng gồm đúng 1000 ô màu đỏ sau hữu hạn lần đổi màu. Khi đó theo chứng minh trên tồn tại một bảng vuông con chứa đúng một ô màu đỏ, ba ô còn lại màu xanh.
	Vì ở trạng thái ban đầu tất cả các bảng vuông con đều gồm 4 ô màu xanh nên mỗi lần đổi màu hàng hoặc cột thì số ô màu đỏ và số ô màu xanh trong bảng vuông con luôn là số chẵn.
	Do đó không thể thu được một bảng vuông con có 1 ô màu đỏ, 3 ô màu xanh.
Suy ra ta có mâu thuẫn.
	Vậy không thể thu được bảng chứa đúng 2000 ô màu đỏ sau hữu hạn lần đổi màu.