Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Tây Hồ (Có đáp án)

PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN TÂY HỒ
ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020-2021. 
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao bài)
ĐỀ BÀI
(4 điểm)
Cho biểu thức với 
Rút gọn biểu thức P.
Tìm các số thực để biểu thức P đạt giá trị nguyên.
(4 điểm)
Tính giá trị của biểu thức , biết 
Giải phương trình: 
(4 điểm)
Cho ba số thực , , khác 0 thoả mãn . 
	Chứng minh rằng 
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn . 
(6 điểm)
Cho điểm là trung điểm của đoạn thẳng (). Điểm thay đổi sao cho . Đường phân giác trong của góc cắt tại .
Chứng minh , trong đó là diện tích tam giác .
Chứng minh 
Chứng minh rằng: 
(2 điểm) 
Cho các só dương , , thỏa mãn . 
	Chứng minh rằng .
Trên bảng có ghi 2020 số: ; ; ;  ; . Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa đi hai số , bất kỳ trên bảng và thay bằng sô . Hỏi sau 2019 lần thực hiện phép xóa, số còn lại trên bảng là số nào?
–HẾT—

PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN TÂY HỒ
ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020-2021. 
🕮☞ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ☜🕮

(4 điểm)
Cho biểu thức với 
Rút gọn biểu thức P.
Tìm các số thực để biểu thức P đạt giá trị nguyên.
Lời giải
Rút gọn biểu thức .
Điều kiện xác định: 
Đặt , 
Thay vào ta được: 
Tìm các số thực để biểu thức đạt giá trị nguyên.
 nguyên nên . Từ đó 
Do nên 
Từ đó 
Do nguyên nên 
Với thì 
Với thì 
(4 điểm)
Tính giá trị của biểu thức , biết 
Giải phương trình: 
Lời giải
1) Ta có 
Xét 
Hay 
Vậy 
2) Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Với điều kiện trên, phương trình tương đương: 
Giải 
Giải 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 
(4 điểm)
1) Cho ba số thực , , khác 0 thoả mãn . 
	Chứng minh rằng 
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn . 
Lời giải
1) Ta có: . 
Nhân hai vế của với số khác 0 ta được: 
Nhân hai vế của với số khác 0 ta được: 
Nhân hai vế của với số khác 0 ta được: 
Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn . 
Trong khoảng không có số nguyên nào nên 
Do đó, 
Và 
Vậy 
Từ đó 
Nếu là nghiệm nguyên của phương trình đã cho thì:
Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn đề bài là: 
(6 điểm) Cho điểm là trung điểm của đoạn thẳng . Điểm thay đổi sao cho . Đường phân giác trong của góc cắt tại .
Chứng minh , trong đó là diện tích tam giác .
Chứng minh 
Chứng minh rằng: 
Lời giải
Chứng minh , trong đó là diện tích tam giác 
Kẻ đường cao của 
Trong tam giác vuông , 
Suy ra 
Chứng minh 
Kẻ đường cao của tam giác 
Lấy + ta được: 
Suy ra 
Chứng minh rằng: 
Sử dụng kết quả của câu 1) ta có:
Mà 
Nên 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Từ đó 
Suy ra 
Dấu bằng xảy ra khi 
(2 điểm) 
Cho các só dương , , thỏa mãn . 
	Chứng minh rằng .
Trên bảng có ghi 2020 số: ; ; ;  ; . Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa đi hai số , bất kỳ trên bảng và thay bằng số . Hỏi sau 2019 lần thực hiện phép xóa, số còn lại trên bảng là số nào?
Lời giải
Cho các só dương , , thỏa mãn . 
	Chứng minh rằng .
Ta có: 
Do đó: 
Nên 
Do vai trò của , , như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử . Mà 
Xét hàm số bậc nhất biến là:
, với và 
Ta có 
Từ đó ta có với mọi , tức là bất đẳng thức đúng.
Đẳng thức xảy ra khi 
Trên bảng có ghi 2020 số: ; ; ;  ; . Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa đi hai số , bất kỳ trên bảng và thay bằng số . Hỏi sau 2019 lần thực hiện phép xóa, số còn lại trên bảng là số nào?
Giả sử các số trên bảng đang là , ,  ,. Ta cho tương ứng bảng này với tích 
Sau mỗi lần biến đổi, tích trên bị mất đi hai thừa số nhưng lại được thêm vào thừa số 
Do đó, tích trên có giá trị tuyệt đối không thay đổi, chỉ đổi dấu.
Vì tích ban đầu bằng 0 (do có chứa thừa số nên số cuối cùng cũng phải có tích bằng 0 nghĩa là tích cuối cùng bằng 
– HẾT —