Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 25/11/2020
(5 điểm)
1) Cho biểu thức 	
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của .
2) Chứng minh rằng: (2020 chữ số 2).
(5 điểm)
1) Giải phương trình sau: .
2) Tìm các số nguyên để biểu thức là một số chính phương. 
(4 điểm)
1) Cho , trong đó là hằng số. 
Biết , , . Tính .
2) Với các số dương , thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
(5 điểm)
1) Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm có , , theo thứ tự là trung điểm của , , . Gọi là trực tâm của tam giác .
a) Chứng minh tam giác và tam giác đồng dạng.
b) Kẻ các đường thẳng , , (, , ). Chứng minh các đường thẳng , , đồng quy.
2) Từ điểm nằm trong tam giác cho trước lần lượt vẽ các đường vuông góc , đến , , . Tìm vị trí của để tích đạt giá trị lớn nhất.
(1 điểm) Cho dãy gồm 1000 số: . Chứng minh trong dãy trên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013.
–HẾT—

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9
PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
Năm học 2020 – 2021

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
(5 điểm)
1) Cho biểu thức 	
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của .
2) Chứng minh rằng: (2020 chữ số 2).
Lời giải
1) Cho biểu thức 	
a) Rút gọn biểu thức .
ĐKXĐ: ; .
 .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của .
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của 
 (thỏa mãn điều kiện).
2) Chứng minh rằng: (2020 chữ số 2).
 (đpcm).
(5 điểm)
1) Giải phương trình sau: .
2) Tìm các số nguyên để biểu thức là một số chính phương. 
Lời giải
1) Giải phương trình sau: .
Điều kiện: .
Phương trình đã cho tương đương với: 
Với thì ; ; 
nên
Từ đó suy ra: là nghiệm duy nhất của phương trình.
2) Tìm các số nguyên để biểu thức là một số chính phương. 
Đặt (với là số tự nhiên)
Ta có: 
Ta sẽ chứng minh: với 
Thật vậy: 
Do nên 
Hay 
 hoặc 
Thử lại: với hoặc biểu thức đã cho đều bằng , thỏa mãn.
Vậy .
(4 điểm)
1) Cho , trong đó , , , là hằng số. 
Biết ; ; . Tính .
2) Với các số dương , thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Lời giải
1) Cho , trong đó , , , là hằng số. 
Biết ; ; . Tính .
Đặt 
 là nghiệm của , mà là đa thức bậc 4 nên có dạng:
Tính được ; 
.
2) Với các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của khi .
(5 điểm)
1) Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm có , , theo thứ tự là trung điểm của , , . Gọi là trực tâm của tam giác .
a) Chứng minh tam giác và tam giác đồng dạng.
b) Kẻ các đường thẳng , , (, , ). Chứng minh các đường thẳng , , đồng quy.
2) Từ điểm nằm trong tam giác cho trước lần lượt vẽ các đường vuông góc , đến , , . Tìm vị trí của để tích đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
1) Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm có theo thứ tự là trung điểm của . Gọi là trực tâm của tam giác .
a) Chứng minh tam giác và tam giác đồng dạng.
Chứng minh được (cùng vuông góc )
 (cùng vuông góc )
; (góc có cạnh tương ứng song song)
 (đpcm)
b) Kẻ các đường thẳng . Chứng minh các đường thẳng đồng quy.
Từ câu a) suy ra: 
Chứng minh được tứ giác là hình bình hành suy ra , dẫn đến tứ giác là hình bình hành. Nên đi qua trung điểm của .
Chứng minh tương tự có đi qua , nên các đường thẳng đồng quy (đpcm)
2) Từ điểm nằm trong tam giác cho trước lần lượt vẽ các đường vuông góc đến . Tìm vị trí của để tích đạt giá trị lớn nhất.
Đặt , , ; , , .
Dấu “=” xảy ra , suy ra diện tích các tam giác , tam giác , tam giác bằng nhau, khi đó là trọng tâm tam giác .
Vậy lớn nhất khi là trọng tâm của tam giác .
(1 điểm)
Cho dãy gồm 1000 số: . Chứng minh trong dãy trên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013.
Lời giải
Tách 2013 = 3.11.61 trong đó 3; 11; 61 đôi một nguyên tố cùng nhau.
Sử dụng điều kiện chia hết cho đồng thời 3 và 11, đó là những số có số chữ số là bội của 6.
Đó là những số: 777777 (6 chữ số), 777777777777 (12 chữ số), 77777 (996 chữ số)
Số số hạng của dãy trên là 
Khi chia 166 số trên cho 61 thì có 166 số dư, mà số dư của các phép chia này chỉ nhận 61 giá trị từ 0 đến 60, nên theo nguyên lý Dirichle sẽ tồn tại 2 số trong dãy trên có cùng số dư khi chia cho 61 hiệu của hai số đó chia hết cho 61.
Hiệu của hai số có dạng: (có số 7, )
Mà suy ra 77...7 chia hết cho 61.
Vậy trong 1000 số đã cho tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013.
– HẾT —