Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Thọ Xuân (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỌ XUÂN
ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
(4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
 Với 
2) Tìm tất cả các giá trị của sao cho biểu thức có giá trị nguyên.
(4,0 điểm) 
1)	Giải phương trình: .
2)	Giải hệ phương trình: .
(4,0 điểm). 
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: .
2) Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì không phải là số chính phương.
(6,0 điểm) Cho đường tròn và điểm cố định ở bên ngoài đường tròn. Từ kẻ các tiếp tuyến, và cát tuyến đến đường tròn , với , là các tiếp điểm. , thuộc đường tròn sao cho , . Gọi là trung điểm của .
1) Chứng minh bốn điểm , , , cùng nằm trên một đường tròn.
2) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .
3) Gọi là điểm thay đổi trên cung nhỏ của đường tròn . Tiếp tuyến qua của đường tròn lần lượt cắt , tại các điển , . Chứng minh chu vi tam giác không đổi. Xác định vị trí của điểm trên cung nhỏ sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.
(2 điểm) Cho các số là các số thực không âm thỏa mãn . 
	Chứng minh rằng: .
–HẾT—
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 HUYỆN THỌ XUÂN
Năm học: 2020-2021
(4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
 Với 
2) Tìm tất cả các giá trị của sao cho biểu thức có giá trị nguyên.
Lời giải
1) Rút gọn biểu thức:
.
2) Tìm tất cả các giá trị của sao cho biểu thức có giá trị nguyên.
Với 
Ta có: 
Ta có: (1)
Lại có: (2)
Từ (1) và (2) ta có 
Mà nguyên nên 
·	
·	
·	
Vậy thì nhận giá trị nguyên.
(4,0 điểm) 
1)	Giải phương trình: .
2)	Giải hệ phương trình: .
Lời giải
1)	Giải phương trình: .
ĐKXĐ: 
Ta thấy không phải là nghiệm của PT, chia cả 2 vế của PT cho ta có
Đặt thay vào PT (*) ta có:
Với 
Với 
Kết hợp ĐKXĐ suy ra tập nghiệm của PT là .
2)	Giải hệ phương trình: 
ĐK: 
Xét PT (1) ta có
mà 
Thay vào PT (2) ta có 
Mặt khác 
Suy ra (thỏa mãn ĐK)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là .
(4,0 điểm). 
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: .
2) Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì không phải là số chính phương.
Lời giải
Ta có: 
1
2



2
1

0




1



Vì nên .
2) Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì không phải là số chính phương.
Giả sử là số chính phương, đặt 
Ta có: 
Trong hai số và có một số chia hết cho số nguyên tố 
Mặt khác, 
Do đó, 
Cả hai số và đều nhỏ hơn .
Vậy không phải là số chính phương.
(6,0 điểm)
Cho đường tròn và điểm cố định ở bên ngoài đường tròn. Từ kẻ các tiếp tuyến, và cát tuyến đến đường tròn , với , là các tiếp điểm. , thuộc đường tròn sao cho , . Gọi là trung điểm của .
1) Chứng minh bốn điểm , , , cùng nằm trên một đường tròn.
2) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .
3) Gọi là điểm thay đổi trên cung nhỏ của đường tròn . Tiếp tuyến qua của đường tròn lần lượt cắt , tại các điển , . Chứng minh chu vi tam giác không đổi. Xác định vị trí của điểm trên cung nhỏ sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.
Lời giải
1) Chứng minh bốn điểm , , , cùng nằm trên một đường tròn.
Xét tứ giác có:
 (vì là tiếp tuyến của đường tròn tâm )
 (vì là tiếp tuyến của đường tròn tâm )
 Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính 	(1)
Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên 
Xét vuông tại nên nội tiếp đường tròn đường kính (2) 
Từ và suy ra 5 điểm , , , , cùng nằm trên đường tròn đường kính 
Vậy bốn điểm , , , cùng nằm trên một đường tròn.
2) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .
Gọi ; .
Ta có: (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: là đường trung trực của đoạn thẳng vuông góc tại .
Xét tam giác vuông tại có đường cao , ta có: 
Ta chứng minh được (g.g) 
Suy ra: 
Khi đó (c.g.c)
Tứ giác nội tiếp đường tròn
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 
mà 
 hay (g.g)
 hay 	(3)
Xét và , có:
 (hai góc đối đỉnh)
suy ra: hay 	(4)
Từ và suy ra: 
 tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính 
mà tứ giác nội tiếp đường tròn (cmt)
Suy ra điểm , , , , cùng nằm trên đường tròn đướng kính 
 hay 
 là tiếp tuyến của đường tròn (đpcm).
Cách 2: 
Có .
, có .
, có .
 tiếp xúc với đường tròn tại .
3) Gọi là điểm thay đổi trên cung nhỏ của đường tròn . Tiếp tuyến qua của đường tròn lần lượt cắt , tại các điển , . Chứng minh chu vi tam giác không đổi. Xác định vị trí của điểm trên cung nhỏ sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.
Do là tiếp tuyến của đường tròn tâm tại nên và 
Ta có: 
mà điểm và cố định nên không đổi. Do đó không đổi (đpcm)
Qua kẻ đường thẳng song song cắt tại , cắt tại .
Ta có: 
Từ đó suy ra (g.g)
 hay (không đổi)
Ta có: 
mà (chứng minh trên)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: 
.
Dấu “=” xảy ra .
(2 điểm) Cho các số là các số thực không âm thỏa mãn . 
	Chứng minh rằng: .
Lời giải
Cộng thêm hai vế của cho ta được: 
Do vậy ta có: 
Ta sẽ đi chứng minh mệnh đề sau: 
Thật vậy theo bđt Cô si ta có: 
Như vậy mệnh đề được chứng minh 
Tương tự ta thu được: và 
Cộng lại ta có: 
 (đpcm )
–HẾT—