Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phương trình vô tỷ

PHƯƠNG TRèNH Vễ TỶ
54. Cần nhớ cỏch giải một số phương trỡnh dạng sau : 	
f) A2- B2=0 úA-B=0 hoặc A+B=0 
g) A2+ B2=0
1)PP BèNH PHƯƠNG HAI VẾ KHễNG ÂM(Dành cho 1 hoặc 2 căn thức)
Bài 1: ú= +1
 Đỏp số : x = 20.
	 (thoả mãn (*))
Vậy phương trình có nghiệm là x=0
Bài 3: 
HD:Điều kiện : x ≥ - 1. Bỡnh phương hai vế, xuất hiện điều kiện x ≥- 1. Nghiệm là : x = - 1.
Bài:
x- =1
úx-1= úx4 – 2x3 +2x = 0
úx(x3 -3x +2) =0 úx(x-1)2(x+2) =0
 Bài 4:
Giải phương trỡnh : (1)
HD: Điều kiện x ≥ 1 ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 Û x ≥ 1.
Chuyển vế, rồi bỡnh phương hai vế : x -1 = 5x - 1 + 3x - 2 + 
Rỳt gọn : 2 - 7x = (2). Với x ≥ 1, VT x ≥ 0; VP≤ 0 nờn PT vụ nghiệm
Bài 14: 	
Bài *:
Tỡm x và y sao cho : 
HD: Biến đổi : . Bỡnh phương hai vế rồi rỳt gọn, ta đợc :
. Lại bỡnh phương hai vế rồi rỳt gọn : (2 - y)(x - 2) = 0.
Đỏp : x = 2 , y = 0 ; x = 0 , y = 2.
.
Bài: 
 HD: Bỡnh phương hai vế, đưa về : (x2 + 8)(x2 -8x + 8) = 0. Đỏp số : x = 4 + 2.
Bài: ú. Vế phải lớn hơn vế trỏi. Vụ nghiệm.
BẬC 3:
Bài: Giải phương trỡnh : 
 a) 	
HD: Lập phương hai vế, ỏp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta được :
 Û x = - 1 ; x = 7 (thỏa món)
Bài: Lập phương hai vế. Đỏp số : 0 ; 
2) PP ĐẶT THỪA SỐ CHUNG HOẶC ĐẶT ẨN PHỤ RỒI ĐẶT THỪA SỐ CHUNG
Bài 5; 
a) x=0; x=2 b)x=±1; x= ± c) x=1
Bài 6; 
Bài 7; 
Bài 8: Giải phương trỡnh : .
 Điều kiện tồn tại của phương trỡnh : x2 - 4x - 5 0 Û 
Đặt ẩn phụ, ta được: 2y2 - 3y - 2 = 0 Û (y -2)(2y + 1)=0.
 Bài 9: Giải phương trỡnh : 
 Điều kiện : x2 + 7x + 7 ≥ 0. Đặt = y 0 ị x2 + 7x + 7 = y2.
Phương trỡnh đó cho trở thành : 3y2 3 + 2y = 2 Û 3y2 + 2y 5 = 0 Û (y 1)(3y + 5) = 0
Û y = - 5/3 (loại) ; y = 1. Với y = 1 ta cú = 1 ị x2 + 7x + 6 = 0 Û
Û (x + 1)(x + 6) = 0. Cỏc giỏ trị x = - 1, x = - 6 thỏa món x2 + 7x + 7 0 là nghiệm của (1).
Ví dụ 4: Giải phương trình: 2x2 + 3x + = 33 (*)
Giải:
* Û2x2 + 3x +9 + - 42 = 0
Đặt y = (y > 0 vì 2x2 + 3x +9 = > 0)
Ta có y2 + y – 42 = 0 Û(y – 6 ) ( y + 7 ) = 0
Ûy1 = 6 ; y2 = -7 (Loại)
Suy ra = 6 Û2x2 + 3x – 27 = 0 Û(x – 3)(x +) = 0
Ûx1 = 3 ; x2 = - 
 VD1:Giải phuơng trình:
Giải
C1: ĐK:
 Đặt (đk )
 Khi đó phương trình đã cho trở thành: 
Giải các phương trình sau:
1) 
2)
Bài *: Giải phương trỡnh: 
 Tập xỏc định : 
 Pt 
Bài gv: Giải phương trỡnh: 
 a) 
(do )
 ( vỡ >0; >0)
 (đặt ) (do )
Vậy phương trỡnh đó cho cú tập nghiệm: 
4) BẤT ĐẲNG THỨC (ĐẶC BIỆT ĐƯA VỀ DẠNG A2 + B2 
Bài 9: Giải cỏc phương trỡnh: 3x2 + 4x + 10 = 2
2) Giải, xỏc định đỳng điều kiện: 
= 0
(Thỏa món)
Bài: 	
HD: . Đỏp số : x = 3.
Bài : Giải phương trỡnh: + = x2 - 10x + 27
 + = x2 - 10x + 27. Đk : 4 Ê x Ê 6. Áp dụng BĐT Cosi cho 2số khụng õm , ta được :
 + = + Ê + = 2
Dấu “ = ” xảy ra Û 
Mặt khỏc : x2 - 10x + 27 = ( x2 - 10x + 25 ) + 2 = ( x - 5 )2 + 2 ³ 2
Dấu “ = ” xảy ra Û x - 5 = 0 Û x = 5. Do đú : + = x2 - 10x + 27 Û x = 5
Giải phương trỡnh : ĐK :x > ỏp dụngBĐT với a>0,b>0 .dấu bằng xẩy ra “=” khi và chỉ khi a=b 
Ví dụ 1: Giải phương trình. = 4 – 2x – x2
Giải:
Vế trái : 
+ = 5
Vế phải : 4 – 2x –x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5.
Vậy pt có nghiệm khi: vế trái = vế phải = 5.
Ûx+ 1 = 0 Û x = -1.
Bài 10: 
Giải phương trỡnh : .
Viết lại phương trỡnh dưới dạng : 
.
Vế trỏi của phương trỡnh khụng nhỏ hơn 6, cũn vế phải khụng lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.
Bài: Giải phương trỡnh : 
HD:Vế trỏi : .
Vế phải : 4 2x x2 = 5 (x + 1)2 5. Vậy hai vế đều bằng 5, khi đú x = - 1. Với giỏ trị này cả hai bất đẳng thức này đều trở thành đẳng thức. Kết luận : x = - 1
Bài **: 
 Do x ≥ 1 nờn vế trỏi lớn hơn hoặc bằng 2, vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 2. Suy ra hai vế bằng 2, khi đú x = 1, thỏa món phương trỡnh.
Nhiều biến:
Bài: Tỡm cỏc số x, y, z thỏa món đẳng thức : HD:
 x = 1 ; y = 2 ; z = -3.
 Bài 11: Cho , trong đú x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
HD: Từ ị .
Vậy x = y = z.
Bài **: (1)
 Ta nhọ̃n thṍy x = 1 là nghiợ̀m của PT (1) 	
Với 	thì: . Nờn PT vụ nghiợ̀m với 
Với x >1 Thì: 
Nờn PT vụ nghiợ̀m với x >1	Vọ̃y PT (1) có nghiợ̀m duy nhṍt x = 1 
 So sỏnh với điều kiện (*) ị x=2 là nghi
4) PP RÚT GỌN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC 
Bài 12; Giải phương trỡnh: = 2006
Bài gv 13: Giải phương trỡnh : 
 Phương trỡnh đó cho Û | 2x + 5 | + | x - 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 - x |
	Û (2x + 5)(4 - x) ≥ 0 Û -5/2 ≤ x ≤ 4
Bài 14: 
 ĐKXĐ: x ³ -2. ( 0,5 điểm)
Pt Û | + | -3| = 
| + | 3 - | = 1
ỏp dụng BĐT |A|+ |B| ³| A + B| ta cú : | + | 3 - | ³ 1
Dấu "=" xảy ra khi : ()( 3 - ) ³ 0 Û 2 Ê Ê 3 	Û 2Ê x Ê 7
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là : S = 
Bài 15: 
 Đặt = y. Đa về dạng = 1. Chỳ ý đến bất đẳng thức :
. Tỡm được 2 ≤ y ≤ 3. Đỏp số : 6≤ x ≤ 11.
Bài 16: Giải phương trỡnh : .
HD: Nhõn 2 vế của pt với , ta được : Û x5/2 
Bài 17: Giải phương trỡnh : 
HD: Điều kiện x ≥ 1. Phương trỡnh biến đổi thành :
* Nếu x > 2 thỡ : , khụng thuộc khoảng đang xột.
* Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thỡ : . Vụ số nghiệm 1 ≤ x ≤ 2
Kết luận : 1 ≤ x ≤ 2.
 VD2:Giải phương trình
Giải
Ta có: 
 - =1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 
3)PP DÙNG HĐT 
Bài:
ú =1úx=4( bỡnh phương hai vế)
BẬC 3
Bài: ; Rỳt gọn vế trỏi đợc : . Đỏp số : x = 4.
4) PP ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRèNH
Bài gv: 
 HD: Đặt 2x2 - 9x + 4 = a ≥ 0 ; 2x - 1 = b≥ 0. Phương trỡnh là : . Bỡnh phương hai vế rồi rỳt gọn ta đợc : b = 0 hoặc b = a. Đỏp số : 
Bài gv: Giải phương trỡnh: .
 (1), điều kiện . Đặt ;
Suy ra Thay vào (1) ta được (do nờn a+b+1>0)
Với a = b ta cú thỏa món điều kiện
Vậy x=1 là nghiệm của phương trỡnh đó cho.
Bài: ; x1 = - 2 ; x2 = 25.
Bài: Điều kiện : x - 1 (1). Đặt . Khi đú x - 2 = y2 ; x + 1 = z2 
nờn z2 y3 = 3. Phương trỡnh đó cho được đa về hệ :
Rỳt z từ (2) : z = 3 y. Thay vào (3) : y3 - y2 + 6y - 6 = 0 Û (y 1)(y2 + 6) = 0 Û y = 1
Suy ra z = 2, thỏa món (4). Từ đú x = 3, thỏa món (1). Kết luận : x = 3.
Bài: 
Đặt = y. Giải hệ : x3 + 1 = 2y , y3 + 1 = 2x, đợc (x - y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0
x = y. Đỏp số : 1 ; .
Bài: 
HD: Đặt , ta được : Û u = v = - 2 ị x = 1
VD3: Giải phương trình
Giải
 ĐK: (*)
Đặt , 
Khi đó ta có hệ phương trình:
Với u=0, ta có: x=2 
Với u=1, ta có: 
Với u=-2, ta có: 
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là:x=1,x=2,x=10
Bài: 
Đặt . Ta cú : a2 + b2 + ab = 1 (1) ; a3 - b3 = 2 (2).
Từ (1) và (2) : a - b = 2. Thay b = a - 2 vào (1) ta được a = 1. Đỏp số : x = 0.
Ví dụ 2: Giải phương trình. 
Giải : 
+ Điều kiện : x≥ -1 
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phương trình.
Với x > 3 thì > 1 ; >2 nên vế trái của phương trình lớn hơn 3.
 Với -1 ≤ x < 3 thì < 1 ; < 2 nên vế trái của phương trình nhỏ hơn 3.
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2: Giải phương trình:+=-16x2-8x+1 (1)
Giải
 ĐK: (*)
Ta có (2)
Lại có : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2 2 (3)
Từ (2) và (3) ta có:
 (thoả mãn(*))
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
Giải các phương trình sau:
2)
Bài *: 
 x = - 2 nghiệm đỳng phương trỡnh. Với x + 2 ≠ 0, chia hai vế cho .
Đặt . Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - 1. Hệ này vụ nghiệm.
Bài**: Đặt : . Kết quả x = 7.
Bài **: 
 Đặt 1 + x = a , 1 - x = b. Ta cú : a + b = 2 (1), = 3 (2)
Theo bất đẳng thức Cauchy , ta cú :
.
Phải xảy ra dấu đẳng thức, tức là : a = b = 1. Do đú x = 0.
l) 
 Đặt thỡ m4 + n4 = a + b - 2x. 
Phương trỡnh đó cho trở thành : m + n = . Nõng lờn lũy thừa bậc bốn hai vế rồi thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = 0.
Suy ra m = 0 hoặc n = 0, cũn nếu m, n > 0 thỡ 2m2 + 3mn + 2n2 > 0.
Do đú x = a , x = b. Ta phải cú x a , x b để cỏc căn thức cú nghĩa.
Giả sử a b thỡ nghiệm của phương trỡnh đó cho là x = a. 
Bài :
 Đặt (1). Ta cú :
. Suy ra y z = 1.
Từ đú (2). Từ (1) và (2) tớnh đợc x. Đỏp số : x = 2 (chỳ ý loại x = - 1).
 Bài : Giải phương trỡnh: 
 Đặt Tỡm được x = 5 là nghiệm
k) Đặt = y 0, đa phương trỡnh về dạng : | y - 2 | + | y - 3 | = 1 . Xột dấu vế trỏi.
l) Đặt : .
Ta được hệ : . Từ đú suy ra : u = z tức là : .
Vỡ ab + 4 > 0 nờn :
PP ĐƯA VỀ DẠNG A2 = B2
Bài 18: Giải Phương trỡnh: 4x2 +3x(4 -9) = 27
 đk:	, Pt 	
 (0,5đ)
GIÁO VIấN ĐỌC THấM
Bài: Cho biết x = là một nghiệm của phương trỡnh x3 + ax2 + bx + c = 0 với cỏc hệ số hữu tỉ. Tỡm cỏc nghiệm cũn lại.
HD: Thay a = vào phương trỡnh đó cho : 2 + 2a + b + c = 0
Û (b + 2) = -(2a + c).
Do a, b, c hữu tỉ nờn phải cú b + 2 = 0 do đú 2a + c = 0. Thay b = - 2 , c = - 2a vào phương trỡnh đó cho :
x3 + ax2 2x 2a = 0 Û x(x2 2) + a(x2 2) = 0 Û (x2 2)(x + a) = 0.
Cỏc nghiệm phương trỡnh đó cho là: và - a.
Bài hay: Giải hệ phương trỡnh 
HD: Nếu x = 0 thỡ y = 0, z = 0. Tương tự đối với y và z. Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiờn x, y, z > 0
Từ hệ phương trỡnh đó cho ta cú : .
Tơng tự . Suy ra x = y = z. Xảy ra dấu = ở cỏc bất đẳng thức trờn với x = y = z = 1. Kết luận : Hai nghiệm (0 ; 0 ; 0) , (1 ; 1 ; 1).
 Bài 13: Tớnh A = 
Bài 14: 	
Bài 15: 	
Bài 16: 	
Bài 18: Giải phương trỡnh: ; 
Đặt ; khi đú x-2= y3 ; x+1 = z2
Ta cú HPT sau: ;
Giải phương trỡnh : ĐK :x > ỏp dụngBĐT với a>0,b>0 .dấu bằng xẩy ra “=” khi và chỉ khi a=b .
Bài *gv: Giải PT: Nhõn hai về biểu thức liờn hợp đưa về phương trỡnh tớch.
Bài 22: Giải phương trỡnh 
Bài 23: Giải PT:x2 +4x +5 = 2 (1);HD ĐK : x ;Biến đổi (1) 
Bài : Giải PT 
Cõu a nhận xột hai vếm cõu b ỏp dụng bất đẳng thức Bunhicopki 
Dấu “=” xẩy ra khi chỉ khi .x=3
VP:==(x-3)2 +2 ;Dấu “=” Xẩy ra khi chỉ khi x =3
Bài : Giải PT:
HD:ĐK:; Đặt t = ;ĐK t Phương trỡnh cú dạng :t2-2t = 0
Bài 19: Giải PT:3x2 +2x = (1);HD:Biến đổi (1)
Đặt :Giải phương trỡnh