Đề thi chọn học sinh giỏi năm học: 2005 - 2006 môn: Toán học - Khối lớp 7

TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học : 2005 - 2006
Môn : TOÁN - Khối lớp: 7
Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (2điểm)	Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và 	c( b + d) = 2bd . Chứng minh ( ) 8 = 
Bài 2 (2điểm)	a/ Tìm x biết:
	5. - 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 . 0,25 + (-0,25)2}
	b/ Tìm x , y biết: + = 0
Bài 3 (2điểm)	a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x2 - 35x + 42
	b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và
	a0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7.
	Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7.
Bài 4 (2điểm)	a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41
	b/ Biết xQ và 0 < x < 1. Chứng minh xn < x với nN, n2
Bài 5 (2điểm)	 Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và
	AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC. 
	Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE.
	a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau.
	b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD.	 
--------------------------------
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Bài 1 (2đ)	Từ c( b+d ) = 2bd suy ra b + d = 	(0,5đ)
	Viết = = 	(0,5đ)
	Suy ra = = 	(0,5đ)
	Biến đổi để có điều phải chứng minh	(0,5đ)
Bài 2 (2đ)	a/ Tính được = 	(0,5đ)
	Tìm được x = , x = 	(0,5đ)
	b/ Nêu 0 và 0	(0,25đ)
	Để có + 0	(0,25đ)
	Suy ra = 0 và = 0	(0,25đ)
	Tìm được x = và y = -3	(0,25đ)
Bài 3 (2đ)	a/ Viết được 7x2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2)	(0,5đ)
	Tìm được x = 3 , x = 2 và trả lời 	(0,5đ)
	b/ Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 7	(0,25đ)
	f(1) và f(-1) chia hết cho 7 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 7	(0,25đ)
	Suy ra 2a + 2c chia hết cho 7 để có a chia hết cho 7.	(0,25đ)
	Suy ra b chia hết cho 7	(0,25đ)
Bài 4 (2đ)	a/ Viết được (x+1)2 = 42 + 8y2	(0,25đ)
	Suy ra (x+1)2 là số chẵn, để có (x+1)2 chia hết cho 4	(0,25đ)
	Nêu 42 + 8y2 không chia hết cho 4.	(0,25đ)
	Kết luận: không có số nguyên x, y nào thõa mãn đề bài	(0,25đ)
	b/ Xét xn – x = x ( xn-1 - 1 )	(0,25đ)
	+ 0 0	(0,25đ)
	 Suy ra: xn - x < 0	(0,25đ)
	+ Suy ra điều phải chứng minh	(0,25đ)
Bài 5 (2đ)	a/ Nêu được AK MC	(0,5đ)
	Suy ra hai góc KAH và MCB bằng nhau	(0,5đ)
	b/ Chứng minh CE = MN	(0,25đ)
	Viết được AB - AC > BD - CE. Suy ra: BM > BD – MN	(0,25đ)	Hạ MI BD và chứng minh BM > BI	(0,25đ)
	Kết luận AB + CE > AC + BD	(0,25đ)