Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2008-2009 Trường THPT Phạm Hồng Thái môn: Toán – khối 11

 Trường THPT đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2008-2009
 Phạm Hồng Thái Môn: Toán – Khối 11 
 Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1(5 đ) 
 1.Cho phương trỡnh: cos2x – (2m+1)cosx + m + 1 = 0
	 a.Giải phương trỡnh khi m = 3/2
	 b.Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm x
Câu 2 (4 đ)
 Giải hệ phương trình : 2x +y-1	 = 5
	 2y + x-1	 = 5
Câu 3 (3đ)
 Khi khai triển (1+x+x2)10 thành đa thức P(x)= a0+a1x+a2x2++ a20x20.
 Hãy tớnh tổng a0 + a1 + a2 ++a20
Câu 4 (6 đ) 
Lập phương trình đường tròn (C) qua điểm A(-1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng d : tại điểm M(1; 2).
2) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AB. Gọi E là trung điểm của CA.
 a) Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (MEB’)
Gọi D = BC (MEB’), K = AA’ (MEB’). Tính tỷ số và .
Câu 5 (2 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 y = cos2x+sinxcosx1+sin2x
 đáp án – thang điểm
đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2008-2009
Môn: Toán – lớp 11
Câu
Nội dung
Điểm
1
. Cho phương trỡnh: cos2x – (2m+1)cosx + m + 1 = 0
a(3 đ)
a.khi m = 3/2 phương trỡnh 
1
1
1
b(2,0 đ)
b.Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm x
phương trỡnh 
với x ta cú nờn cosx = 1/2 không thoả món
Do đú phương trỡnh đó cho cú nghiệm x 
1
0,5
0,5
3
3đ
 Từ P(x)= a0+a1x+a2x2++ a20x20.
Thay x =1 ta có P(1) = a0 + a1 + a2 ++a20 
Mà P(1)=(1+1+12)10 =310 
 nên a0 + a1 + a2 ++a20 =310
1
1
1
2
4đ
+) Đặt 
+) Đưa về hệ: 2u2+ v – 3=0
	 2v2 + u – 3= 0 
⟺ u –v = 0
 2u2+ v – 3=0 (I)
 2u + 2v – 1= 0
 2u2+ v – 3=0 (II)
Giải hệ (I) ta được u= v = 1 ⇒ x = y =2
 hệ (II) vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm x = y =2
1
0,5
0,5
1
1
4
1(2,0 đ)
+) Viết được PT đường thẳng đi qua tâm I của đường tròn (C) Và vuông góc với d là từ đó suy ra I(1+7t;2-t)
+) (C) tiếp xúc với d khi và chỉ khi IM=R IM2=R2 R2=50t2
+) (C) có dạng (x-1-7t)2+(y-2+t)2=50t2
+) A (C) t=-1. Vậy (C): (x+6)2+(y-3)2=50
0,5
0,5
0,5
0,5
2(4,0 đ)
a,(1đ)
+) Xác định được điểm D và suy ra được 2 đoạn giao tuyến DE và DB’
+) Xác định được điểm K; suy ra được đoạn gioa tuyến EK và KB’
+) Kết luận được thiết diện là tứ giác DEKB’
b,(1đ)
+) Xét tam giác MBB’ có 
+) Trong (ABC). Dựng EN // AB (NBC), khi đó EN=
+) Xét tam giác DBM có: 
 Suy ra D là trung điểm CN. Vậy 
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,5
5
2đ
Ta có 1 + sin2x ≠ 0 với mọi x
 y = cos2x+sinxcosx1+sin2x
⟺y(1 + sin2x) = cos2x + sinxcosx 
⟺ y( 1 – cos2x ) = 1 + cos2x + sin2x
⟺ sin2x + ( y +1)cos2x = 3y – 1 (2)
Phương trình (2) có nghiệm khi với mọi x khi và chỉ khi
(3y – 1)2≤ (y + 1)2 + 1 ⟺ 8y2 – 8y - 1≤ 0
⟺ 2- 64 ≤ y ≤ 2+ 64
Vậy maxy = 2+ 64 ; min y = 2- 64 ( x∈R)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5