Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2011 - 2012 Môn Toán : Lớp 8 -Ninh Bình

 PHềNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ NINH BèNH
T-DH0-HSG8-12-THS
-------------------------
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2011 - 2012
Mụn Toỏn : Lớp 8
(Thời gian làm bài: 150 phỳt)
---------------------------
Bài 1: (4,0 điểm) 
Cho biểu thức 
 Với 
 	a. Rút gọn biểu thức A
b. Cho y = 1 hóy tỡm x để 
Bài 2: (3,0 điểm) 
 	Giải phương trỡnh:
	a. x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0
 b. 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
Bài 3: (4,0 điểm) 
	Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, vẽ cỏc đường cao AD, CE. Gọi H, K theo thứ tự là hỡnh chiếu của B và C trờn đường thẳng ED. Chứng minh:
EH = DK
SBEC + SBDC = SBHKC
Bài 4: (4,0 điểm)
Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món: .
b. Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn: x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - 4
Bài 5: (2,0 điểm)
 	 Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1
Chứng minh rằng: 
Bài 6: (3,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC có và đụ̣ dài ba cạnh là ba sụ́ tự nhiờn liờn tiờ́p.
 Tính đụ̣ dài các cạnh của tam giác ABC.
 -----------------------Hết-------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
Đỏp ỏn ; Kết quả
Điểm
Bài 1:
(4,0 điểm)
a. (2,0 điểm)
1,0
1,0
b.(2,0 điểm) với y = 1 ta cú : 
Tỡm được x = 1
1,0
1,0
Bài 2:
(3,0 điểm)
a. (1,5 điểm)
x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 
 Vậy 
1,0
0,25
0,25
b.(1,5 điểm) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0
 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 
 9(x – 1)2 + (y – 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
 Do : 
 Nờn : (*)
0,5
0,5
0,5
Bài 3:
(4,0 điểm)
a.(1,5 điểm) Gọi M, I lần lượt là trung điểm BC,ED
Chứng minh được MED cõn tại M
=> MI ED
Hỡnh thang BHKC cú:
 BM = MC, MI // BH // CK 
nờn IH = IK mà ID = IE => EH = DK
0,5
1,0
b.(2,5 điểm) Vẽ EE’, II’, DD’ vuụng gúc với BC. 
- Chứng minh được II’ là đường trung bỡnh của hỡnh thang EE’D’D nờn: 
II’ = (EE’ + DD’)
 => (1)
- Qua I vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BH, CK tại P và Q
- Chứng minh được BPQC là hỡnh bỡnh hành nờn SBPQC = BC. II’ (2)
- Chứng minh được PIH = QIK nờn SBPQC = SBHCK (3) 
Từ (1); (2); (3) => SBEC + SBDC = SBHKC
0,5
1,0
0,5
0,5
Bài 4:
(4,0 điểm)
 a.(2,0 điểm) (1)
Giả sử cú x,y nguyờn thỏa món, 
.
Do =>=>.
- Nếu (vụ nghiệm trờn Z).
- Nếu .
Vậy là cỏc giỏ trị cần tỡm.
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
b.(2,0 điểm)
Vì x, y, z là các số nguyên nên
 x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - 4
 (*)
 Mà 
 (*) 
 Kết luận:
1,0
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5:
(2,0 điểm)
 (1)
Đặt x = ; y = ; z = 
 Ta có 
 (1) Với x + y + z ≤ 1 và x , y, z > 0
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ta có:
 3. đẳng thức xảy ra x = y = z
 3. . đẳng thức xảy ra 
 Mà x + y + z ≤ 1 
 => đẳng thức xảy ra x = y = z = 1/3
 a = b = c = 1/3 (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
Bài 6:
(3,0 điểm)
Tam giỏc ABC cú => BC > AC
Trờn cạnh CB lṍy điờ̉m D sao cho CA = CD. 
Chứng minh được: 
 Theo đờ̀ bài => 
Đặt BC = a, AC = b, AB = c với , ta có: 
Tam giỏc ABC cú (CMT); chung.
=> => (1)
Do các cạnh của tam giác ABC là các sụ́ tự nhiờn liờn tiờ́p và a >b nờn 
a – b = 1 hoặc a – b = 2
- Nờ́u a – b = 1 thì a – c = 2 => a = c + 2. Thay vào (1) ta được . Khi đó a = 4, b = 3.
 Ba sụ́ 2, 3, 4 thỏa mãn bṍt đẳng thức tam giác.
- Nờ́u a – b = 2 thì a – c = 1 = > a = c + 1 Thay vào (1) ta được: (loại)
Vọ̃y AB = 2, AC = 3, BC = 4
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5