Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT năm 2008 môn Toán

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT NĂM 2008
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 29/01/08
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1 (3 điểm). Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình (ẩn ) sau:
Câu 2 (3 điểm). Cho tam giác có góc là góc nhọn, trong đó là trung điểm của . Trên tia lấy điểm sao cho . Ký hiệu là số đo của góc , hãy tính tỉ số theo .
Câu 3 (2 điểm). Đặt . Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên mà và chia hết cho .
Câu 4 (3 điểm). Cho dãy số thực được xác định như sau:
 và với mọi 
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi . Hãy tìm giới hạn đó.
Câu 5 (3 điểm). Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9?
Câu 6 (3 điểm). Cho là các số thực không âm, đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 7 (3 điểm). Cho tam giác , trung tuyến . Cho đường thẳng vuông góc với đường thẳng . Xét điểm nằm trên đường thẳng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng cắt đường thẳng tại , đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định, khi di động trên đường thẳng .
-------------------------------------------- HẾT --------------------------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Giám thị không được giải thích gì thêm.
LỜI GIẢI
Câu 1 (3 điểm). Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình (ẩn ) sau:
Bài giải
+ ĐK: 
+ Từ (2) suy ra x, y cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1, kết hợp với (1), được x, y cùng lớn hơn 1
+ Đặt ta được hệ 
Suy ra (5) 
+ Xét hàm số . Hàm số liên tục, có đạo hàm mọi cấp tại mọi và
Và 
Do đó hàm số lồi trên . Ngoài ra đồng biến trên , do 
Nên 
Mặt khác 
 nên và vì vậy ta có bảng
0
+
-
Từ đó, do tính liên tục của nên (5) có hai nghiệm dương. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm.
Câu 2 (3 điểm). Cho tam giác có góc là góc nhọn, trong đó là trung điểm của . Trên tia lấy điểm sao cho . Ký hiệu là số đo của góc , hãy tính tỉ số theo .
Lời giải
Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho khi đó tam giác AEF cân tại A.
Vậy AF = AE = EB. Suy ra 
Suy ra FC = EM, MC = FE
Từ đó
Câu 3 (2 điểm). Đặt . Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên mà và
 chia hết cho .
Bài giải
Bổ đề 1.
Cho . Khi đó phương trình có đúng một nghiệm theo trong tập hợp 
Bổ đề 2. trong đó và nguyên tố cùng nhau, và các số nguyên thỏa mãn 
Cho . Khi đó hệ
Có duy nhất nghiệm theo trong tập hợp 
Ta có và . Để ý rằng , nên có thể coi là tích của và nguyên tố cùng nhau, không có số nào chia hết cho 5
Ta có ba số chia hết cho hoặc chúng có hai số chia hết cho . Do đó có 9 trường hợp xảy ra ;
+ theo bổ đề 1 có một nghiệm.
+ theo bổ đề 1 có một nghiệm.
+ theo bổ đề 1 có một nghiệm.
+ Hai trong ba số chia hết cho (có 6 trường hợp): mỗi trường hợp, theo bổ đề 2, có đúng một nghiệm.
Vậy có tất cả 9 số thỏa mãn.
Câu 4 (3 điểm). Cho dãy số thực được xác định như sau:
 và với mọi 
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi . Hãy tìm giới hạn đó.
Bài giải
Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh đươc 
Xét hàm số 
Ta có mà thì . Do đó 
Mặt khác theo định lý Lagrange thì với mọi đều tồn tại sao cho
Vậy 
Từ đó 
Từ đó, theo định lý Cauchy, dãy hội tụ về là nghiệm của phương trình . Giải phương trình ta thu được .
Câu 5 (3 điểm). Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9?
Bài giải
Coi số cần tìm có đủ 2008 chữ số, nếu không bổ sung thêm các chữ số 0 vào trước
Gọi A là tập hợp các số chia hết cho 9, mỗi số gồm 2008 chữ số, B, C là tập hợp các số có 2008 chữ số, chia hết cho 9, và không có chữ số 9 nào, có đúng một chữ số 9 theo thứ tự đó; D là tập hợp các số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó 
Vậy 
Gọi 
+ Có số chia hết cho 9.
+ Với mỗi bộ tồn tại duy nhất sao cho
Suy ra 
+ Tương tự 
+ Vậy có số thỏa mãn.
Câu 6 (3 điểm). Cho là các số thực không âm, đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài giải
Coi 
Nên 
Suy ra 
Ta thấy 
“=” 
Câu 7 (3 điểm). Cho tam giác , trung tuyến . Cho đường thẳng vuông góc với đường thẳng . Xét điểm nằm trên đường thẳng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng cắt đường thẳng tại , đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định, khi di động trên đường thẳng .
Bài giải
x
y
P
A
B
C
D
E
M
F
Q
Rõ ràng chỉ cần xét tại D là đủ. Chon hệ trục Dxy như hình vẽ sao cho . Do B, C đối xứng nhau qua D nên .
Từ đó:
Suy ra và 
Suy ra 
Đường thẳng qua M, vuông góc với PQ có phương trình
Khử tham số b, ta được đường thẳng này luôn đi qua điểm với mọi b.