Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT năm 2009 môn Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 
LỚP 12 THPT NĂM 2009 
Môn: TOÁN 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 25/02/2009 
Câu 1 (4 điểm). Giải hệ phương trình sau: 
2 2
1 1 2
1 21 2 1 2
2(1 2 ) (1 2 ) .
9
xyx y
x x y y
⎧ + =⎪ +⎪ + +⎨⎪ − + − =⎪⎩
Câu 2 (5 điểm). Cho dãy số thực (xn) xác định bởi 
1
1
2
x = và 
2
1 1 14
2
n n n
n
x x x
x − − −
+ += với mọi n ≥ 2. 
Với mỗi số nguyên dương n, đặt 2
1
1n
n
i i
y
x=
= ∑ . 
Chứng minh rằng dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn khi n → ∞. Hãy tìm giới hạn đó. 
Câu 3 (5 điểm). Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định A, B (A ≠ B). Xét một điểm C 
di động trong mặt phẳng sao cho nACB α= , trong đó α là một góc cho trước 
( 0 00 180α< < ). Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC 
và CA tương ứng tại D, E và F. Các đường thẳng AI và BI lần lượt cắt đường thẳng EF 
tại M và N. Chứng minh rằng: 
1/ Đoạn thẳng MN có độ dài không đổi; 
2/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm cố định. 
Câu 4 (3 điểm). Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: với mỗi số nguyên dương 
n, n n na b c+ + là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên p, q, r sao 
cho a, b, c là 3 nghiệm của phương trình x3 + px2 + qx + r = 0. 
Câu 5 (3 điểm). Cho số nguyên dương n. Kí hiệu T là tập hợp gồm 2n số nguyên 
dương đầu tiên. Hỏi có tất cả bao nhiêu tập con S của T có tính chất: trong S không 
tồn tại các số a, b mà |a – b|∈{1; n} ? 
(Lưu ý: Tập rỗng được coi là tập con có tính chất nêu trên). 
--------------------------------------------------- HẾT --------------------------------------------- 
• Thí sinh không được sử dụng tài liệu. 
• Giám thị không được giải thích gì thêm.