Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán lớp 12 THPT năm 2008

1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
Môn Toán lớp 12 THPT năm 2008. Thời gian: 180 phút.
1. (3 điểm) Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình ẩn x, y sau đây{
x2 + y3 = 29
log3 x · log2 y = 1
(1)
2. (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B̂EC là góc nhọn, trong đó E là trung
điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia EC lấy điểm M sao cho B̂ME = ÊCA. Kí hiệu
α là số đo của góc B̂EC, hãy tính tỉ số
MC
AB
theo α.
3. (2 điểm) Đặt m = 20072008. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà n < m
và n(2n+ 1)(5n+ 2) chia hết cho m?
4. (3 điểm) Cho dãy số thực (xn) được xác định như sau: x1 = 0, x2 = 2 và
xn+2 = 2
−xn + 1
2
với mọi n = 1, 2, 3, . . .. Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn
khi n→ +∞. Hãy tìm giới hạn đó
5. (3 điểm) Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối
đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9?
6. (3 điểm) Cho x, y, z là các số thực không âm, đôi một khác nhau. Chứng minh
rằng
(xy + yz + zx)
(
1
(x− y)2 +
1
(y − z)2 +
1
(z − x)2
)
≥ 4
Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?
7. (3 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD.Cho đường thẳng d vuông góc
với đường thẳng AD. Xét điểm M nằm trên d. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của
MB,MC. Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt đường thẳng AB ở P ,
đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở Q. Chứng minh
rằng đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm
cố định, khi điểm M di động trên đường thẳng d.
c© www.mathscope.org/forum