Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn thi Toán - Lớp 9

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Môn thi : Toán - Lớp 9 - Năm học 2012 - 2013
 Thời gian làm bài 150 phút
ĐỀ BÀI
Bài 1 ( 4 điểm) 
Cho biểu thức
Rút gọn A
Chứng minh A 0 . So sánh A và 
Bài 2 ( 4 điểm)
a) Tìm các bộ gồm ba số tự nhiên a, b, c khác 0 thoả mãn 
Cho a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 1. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 	
Bài 3 ( 4 điểm)
 Giải hệ phương trình
 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x2 + 5y2 = 74
Bài 4 ( 3 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD ( AB > AD). Lấy điểm E thuộc cạnh AD, lấy các điểm I, K thuộc cạnh CD sao cho DI = CK. Đường thẳng vuông góc với EK tại K cắt BC tại M. Tính .
Bài 5 ( 5 điểm)	
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 6cm và hai tia tiếp tuyến Ax, By ở cùng nửa mặt phẳng với nửa đường tròn bờ là đường thẳng AB. Một tiếp tuyến thứ ba tại M thuộc nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. AM và BM cắt OC và OD thứ tự tại E và F.
Chứng minh: .
Gọi I là giao điểm các đường chéo của tứ giác OEMF. Tìm tập hợp các điểm I khi M thay đổi.
Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn để tứ giác OEMF là hình vuông. Khi đó hãy tính SOEMF .
( Hết )
Họ và tên thí sinh: ...................................................	Số báo danh: ........... Phòng thi:.......HƯỚNG DẪN CHẤM – MÔN TOÁN
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2012 - 2013
Bài 1 ( 4 điểm) 
a) Rút gọn A
+ Điều kiện: x 0, y 0 , x y	 (0,5 điểm)
+ Biến đổi ta có :
 A = 
 A = = 	 (1,5 điểm)
b) + Vì x 0, y 0 => 0 (1)	 
 Vì x 0, y 0 , x y => (2)	
 Từ (1) (2) => 	=> A 0 (3)	 (1,0 điểm)
+ Ta có => 
 Chia cả hai vế cho ( theo kết quả (2) ) ta được :
 Vì x 0, y 0 , x y nên dấu “=” không xảy ra. 
 Do đó = A < 1 (4) 	 (0,5 điểm)
+ Từ kết quả (3) (4) ta có 0 A < 1
 Do đó : Với A = 0 => A = 
	 Với 0 A < 	 (0,5 điểm)
Bài 2 (4 điểm)
a) + Theo bài ra a, b, c là ba số tự nhiên khác 0, không mất tính tổng quát giả sử 
 a b c, khi đó 
 => (1)
Mặt khác theo bài ra (2)
Từ (1) (2) suy ra => 4a 15 => a < 4, mà a N , a 0
Do đó a = 1 ; 2 ; 3	 (1,0 điểm)
+ Nếu a = 1 thì trái với (2) 	 
+ Nếu a = 2 thì 
Theo kết quả trên 
Suy ra => 3b 20 => b 6
Mà a b , a = 2 => b > 2. Do đó b = 3 ; 4 ; 5 ; 6
Thay a = 2 và lần lượt với b = 3; 4; 5; 6 vào (2) tìm được hai bộ
 a = 2 ; b = 4 ; c = 20
và a = 2 ; b = 5 ; c = 10	 (0,5 điểm)
+ Nếu a = 3 thì 
Suy ra => 7b 30 => b 4
Kết hợp với b > 2. Do đó b = 3 ; 4
 Thay a = 3 và lần lượt với b = 3 ; 4 vào (2) không tìm được bộ ba nào thoả mãn. 
+ Vậy bằng cách hoán vị bộ ba số ( 2; 4; 20) và ( 2; 5; 10) ta được 12 bộ ba số cần tìm.	 (0,5 điểm)
b) + Vì a, b, c là các số dương nên P > 0
Ta có P2 = 
P2 = 
P2 = 
P2 = 	 (1,0 điểm)
+ Suy ra: P2= = 3 (0,5 điểm)
+ Do đó P2 3 mà P > 0 => P 
Vậy min P = a = b = c = 	 (0,5 điểm)
Bài 3 (4 điểm)
a) + Từ hệ phương trình ta có :
 = 4y – 4 => 4(y – 1) = => y – 1 = 0
Suy ra = y – 1	 (0,5 điểm)
+ Do đó hệ phương trình trở thành
 => y – 1 = 5 – 4y + 4 => 5y = 10 => y = 2	 (0,5 điểm)
+ Thay y = 2 vào (2) : = 4 => 	 (0,5 điểm)
+ Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 	 (0,5 điểm)
b) + Theo bài ra 	6x2 + 5y2 = 74
	 => 6x2 – 24 = 50 – 5y2	 
	 => 6(x2 – 4) = 5( 10 – y2)	 (0,5 điểm)
+ Vì x, y Z và (6 ; 5) = 1 suy ra 
 x2 – 4 5 => x2 – 4 = 5k => x2 = 5k + 4 0 (2) ( k Z )
 Và 10 – y2 6 => 10 – y2 = 6t => y2 = 10 – 6t 0 (3) ( t Z )	 
 Do đó (1) trở thành 6.5k = 5.6t => 30k = 30t => k = t	 (0,5 điểm)
+ Từ (2) 5k + 4 0 => k 
 Từ (3) 10 – 6t 0 => t 
 Kết hợp với k = t suy ra k = t = 0  ; k = t = 1 	 (0,5 điểm)
+ Với k = t = 0 : thay vào (2) => x = 2 ; -2
	thay vào (3) => y Z
 Với k = t = 1 : thay vào (2) => x = 3 ; -3
	thay vào (3) => y = 2 ; - 2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên :
	( x ; y) = (3 ; 2) , (3 ; -2 ) , ( - 3 , 2) , ( -3 ; -2)	 (0,5 điểm)
Bài 4 (3 điểm) 
+ Lấy O là trung điểm của EM, lấy H là trung điểm của CD
 Chứng minh được OH là đường trung bình của hình thang DEMC
 Suy ra OH // DE // MC, do đó OH CD (1)	(1,0 điểm)
+ Chứng minh được DH = CH, lại có DI = CK (gt) => HI = HK (2)
 Từ (1) (2) suy ra OIK cân, do đó OI = OK (3)	(1,0 điểm)
+ Mặt khác theo bài ra: = 900 , chứng minh được OK = EM , kết hợp với (3) suy ra OI = EM . 
 Chứng minh được EIM vuông tại I . Vậy = 900	(1,0 điểm)
Bài 5 (5 điểm)
a) 
+ Chứng minh được = 900 
 => (1)	 (0,5 điểm)
+ Nối OM. Chứng minh được ô1 = ô2 và ô3 = ô4 => ô3 = ô4 = 900
 => = 900	 (0,5 điểm)
 + Chứng minh được CA = CM , OA = OM => CO là đường trung trực của AM
 => = 900 và EM = EA = 
 Chứng minh tương tự ta được: = 900 và FM = FB = (0,5 điểm)
 + Từ các kết quả trên suy ra tứ giác OEMF có ô = Ê = F = 900 nên là hình chữ nhật, do đó: 	(2)
 Từ (1) (2) ta có 	 (0,5 điểm)
b) 
+ Thuận: 
Vì I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật OEMF 
nên IO = = 1,5cm	 (0,5 điểm)
Vì O cố định, IO = 1,5 cm không đổi. Do đó khi M di chuyển trên nửa đường tròn (O; 3cm) thì điểm I di chuyển trên nửa đường tròn tâm O, bán kính 1,5cm cũng thuộc nửa mặt phẳng với nửa đường tròn đã cho bờ AB, trừ hai điểm là giao của AB với nửa đường tròn (O; 1,5cm).	 (1,0 điểm)
+ Đảo: 
Trên nửa đường tròn (O; 1,5cm) lấy điểm I’ bất kỳ. Nối OI’ cắt nửa đường tròn (O; 3cm) tại M’. Tiếp tuyến tại M’ cắt hai tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C’ và D’. AM’ và BM’ cắt OC’ và OD’ thứ tự tại E’ và F’. Chứng minh tương tự câu a, ta được I’ là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật OE’M’F’.	 (0,5 điểm)
c) 
+ Theo chứng minh trên OEMF là hình chữ nhật. Để OEMF trở thành hình vuông thì phải có MO EF. Chứng minh được EF // AB. Suy ra MO AB. Do đó M phải là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O; 3cm). 	 (0,5 điểm)
+ Ngược lại, khi M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O; 3cm) ta chứng minh được OEMF là hình vuông. Khi đó SOEMF = 9cm2: 2 = 4,5cm2 . 	 (0,5 điểm)
Lưu ý: 	
- Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương.
- Với bài 4, bài 5 nếu không vẽ hình hoặc vẽ sai thì không chấm điểm.