Đề thi chọn học sinh giỏi Thành phố môn Toán Lớp 8 Năm học 2008-2009 - Trường THCS Đồng Mỹ

Phòng GD tp Đồng hới
Trường THCS Đồng Mỹ

Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố
môn toán - lớp 8 . Năm học 2008-2009
Thời gian làm bài: 120 phút
 (Không kể thời gian giao đề)


Bài 1. ( 2,0 điểm) Chứng minh rằng:
 a) Với mọi a, nếu a và b không chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
 b) Với mọi n thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. 
Bài 2. ( 2,0 điểm)
 a) Giải phương trình:
 b) Tỡm cỏc số x, y, z biết :
 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 
 và 
Bài 3. ( 1,5 điểm) Chứng minh rằng: 
Nếu a, b, c là cỏc số dương thoả món: 
thì ta cú bất đẳng thức 
Bài 4. ( 1,5 điểm) Cho 6a - 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2
Bài 5. ( 3,0 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh:
Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.




Phòng GD tp Đồng hới
Trường THCS Đồng Mỹ

đáp án – biểu điểm
môn toán - lớp 8 . Năm học 2008-2009

Bài 1. a) (1,0 điểm)
Vì a không chia hết cho 3 nên a có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k)
Nếu a = 3k+1 thì a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia 3 dư 1.
Nếu a = 3k+2 thì a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4 chia 3 dư 1.
Vậy nên nếu a không chia hết cho 3 thì a2 chia 3 dư 1.(1)
Tương tự ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì b2 chia 3 dư 1.(2)
Từ (1) và (2) ta có a2-b23 (3) (0,5 đ)
Ta có a6-b6 = (a2-b2)[(a2)2+a2b2+(b2)2] = (a2-b2)[( a2)2 - 2a2b2+(b2)2+3a2b2]
 = (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2]
Theo c/m trên a2-b23 => (a2-b2)2 3 mà 3a2b2 3 với mọi a 
nên (a2-b2)2+ 3a2b2 3 (4) 
Từ (3) và (4) suy ra (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] 3.3 hay a6-b6 9 (0,5 đ)
 b) (1,0 điểm)
Ta cần chứng minh: n5 – n 10
* Chứng minh : n5 - n 2
 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (0,25 đ)
 (vỡ với nta có n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp)	
* Chứng minh: n5 – n 5
 n5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
 = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) 5
 ( Vì với nta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tớch của năm số nguyờn liờn tiếp nờn chia hết cho 5 và 5n( n – 1)( n + 1 ) 5 với mọi n) (0,5 đ)
 Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10
Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau. (0,25 đ)
Bài 2. a) 1,0 điểm 
x2+ 9x + 20 = (x+4)(x+5)
x2+ 11x + 30 = (x+5)(x+6)
x2+ 13x + 42 = (x+6)(x+7)
ĐKXĐ : 

 (0,5 đ)

=> 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7)
=> (x+13)(x-2) = 0 (0,25 đ)

=> x = -13 hoặc x = 2 ( Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy PT đã cho có hai nghiệm là x1=-13; x2=2 (0,25 đ)
 b) 1,0 điểm 
 Ta có x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
 2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0
 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0	 (0,25 đ)	
 x2009 = y2009 = z2009	(1) (0,25 đ)	
Theo bài ra ta có 	(2)	
Từ (1) và (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3 (0,25 đ)
Vậy x = y = z = 3	 (0,25 đ)
Bài 3. Chứng minh rằng: 
Nếu a, b, c là cỏc số dương thoả món: 
thì ta cú bất đẳng thức 
Ta có 
 (*)(vì a,b,c > 0 nên abc>0)
Mànên cộng theo vế 3 bất đẳng thức này ta được (1)
Lại có (2)
Từ (1) và (2) ta có (**)
Từ (*) và(**) ta có
 (Vì a,b,c > 0 nên a + b + c> 0)
Bài 4. ( 1,0 điểm) Cho 6a - 5b = 1.(1) Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2
 Đặt x = 2a; y = - 5b, ta có 6a = 3x vì 6a - 5b = 1 nên (3x+ y)2 =(6a – 5b)2 = 1
 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai số 3x và y ta có: 
(3x + y)2 (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 Hay 4a2 + 25b2 .
Dấu bằng xẩy ra 3y = x - 15 b = 2a 6a = - 45b (2)
Từ (1) và (2) => 
	
Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh:
Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.
 
 C
 F
M
N
A
E
B
 a)ANC vuông tại N (vì MN =AM = AC )
 CNM + MNA = 1v
 BAN + NAC = 1v
 Mà MNA = NAC => CNM = BAN
 Mặt khác CNM = BNE (đđ) =>BNE = BAN
 => BNE BAN 
 b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F sao cho FM = MN. 
 Tứ giác ANCF là hình chữ nhật (vì có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) 
 => CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) =>BAN BFA =>
 (Đpcm)
Cách khác: b) Ta có:ACN EAN => 
 BNE BAN =>. Từ (1) và (2) => BN = AE
 Từ 
Từ (3) và (4) => (Đpcm)