Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh 12 năm học 2008-2009 (thời gian làm bài 180 phút)

ĐỀ THI CHỌN HOC SINH GIỎI TĨNH 12
NĂM HỌC 2008-2009
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1: Cho hệ phương trỡnh:
Với điều kiện nào của a thỡ hệ cú nghiệm.
Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn. Chứng minh:
Bài 3: Tỡm điều kiện của m để phương trỡnh cú nghiệm:
Bài 4: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều SABCD cú cạnh đỏy bằng a, đường cao bằng h. (P) là mặt phẳng đi qua A vuụng gúc với SC, (P) cắt SB,SC,SD lần lượt .
 1. h phải thỏa mãn điều kiện gì để thuộc cạnh SC khi đó tính diện tích thiết diện.
 2. Tính thể tích hình chóp . 
Bài 5: a, b, c là ba số thực chứng minh rằng :
Sơ lược đáp án đề thi chọn học sinh giỏi 12
Năm học 2008-2009
------------------------------
Đáp án 
Bài 1 (4 điểm) 
 Đặt 
 điều kiện *
đưa về phương trình điều kiện để phương trình có nghiệm 
(1)
S1=
1/ as,p
S= thỏa mãn
2/a< khi đó S= thỏa mãn
3/ khi đó S= thế vào
 ()2
Vậy với những giá trị: hoặc a8 
Bài2 (4 điểm) :
+
Vai trò như nhau
Đăt f(x) = x
=
áp dụng bất đẳng thức côsi cosx+cosx+ f(x) hàm đồng biến xf(x)f(0) =o Thay x=A,x=B, x=C
A.B,C nhọn do đó f(A)>0;f(B)>0,f(C)>0 vậy bất đẳng thứ được chứng minh
Bài 3 (4 điểm )
 Đặt t = cosx điều kiện Xét hàm số f(x)= t4 +(1-t)4 
Tìm giá trị lớn và nhỏ nhất trên 
f’(x)=4t3 - 4(1-t)3
f’(x)=0 khi t=
f(1) =1; f(-1) = 17 ; f() = vậy phương trình có nghiệm 
Bài 4 (5 điểm)
Mặt phẳng đi qua A vuông góc với SCsẽ cắt (SAC) theo đường cao AC’ của tam giác SAC muốn cho điểm C’ năm trên SC thi góc SAC nhọn suy 
S
B	
H
K
C’’
C
A
D
ra HSC HC 
2 gọi k là giao điểm của đường cao SH của hình chóp với AC’ta có:
//BDVậy (P) cắt (SBD) theo B’D’ đi qua K và //BD .Nên (P) cát hình chóp SABCD theo thiết diện là tứ giác AB’C’D’ có 2 đường chéo vuông góc là AC’ và B’D’ (Do B’D’ vuông góc (SAC vì BD//B’D’)
 Vậy diện tích thiết diện AB’C’D’ là
S = AC’ B’D’ mà AC’.SC = SH.AC = dt (tg SAC) suy ra 
AC’ = = 
Từ tính chất trực tâm tam giác SAC có : HK.HS = HA.HC
HK = 
theo tính chất 2 tam giác đồng dạng SB’D’ và SBD
Vậy S =
2/ Hình chóp SAB’ C’D’ có chiều cao là SC’ với SC’.SC = SH.SK( vì tứ giác HCC’K nội tiếp được) nên:
SC’ =
Vầy thể tích hình chóp SAB’C’D’
2V = SC’.dt(AB”C’D’) == (ĐVTT)
Bài 5( 3 Điểm)
 (1)
 (*)
Mặt khác 3 (**)
Cộng vế cho vế ta được (1) điều phải chứng minh