Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh giải Toán trên máy tính cầm tay khối 12 THPT - Năm học 2009 - 2010

Sở Giáo dục và Đào tạo	Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
	Thừa Thiên Huế	Giải toán trên máy tính CầM TAY 
	Đề thi chính thức	Khối 12 THPT - Năm học 2009-2010
Thời gian làm bài: 150 phỳt 
Ngày thi: 20/12/2009 - Đề thi gồm 5 trang
Điểm toàn bài thi
Các giám khảo
(Họ, tên và chữ ký)
Số phách
(Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi)
Bằng số
Bằng chữ
GK1
GK2
Qui định: Học sinh trỡnh bày vắn tắt cỏch giải, cụng thức ỏp dụng, kết quả tớnh toỏn vào ụ trống liền kề bài toỏn. Cỏc kết quả tớnh gần đỳng, nếu khụng cú chỉ định cụ thể, được ngầm định chớnh xỏc tới 4 chữ số phần thập phõn sau dấu phẩy 
Bài 1. (5 điểm) Tớnh giỏ trị của hàm số tại :
Túm tắt cỏch giải:
Kết quả:
Bài 2. (5 điểm) 
Tỡm tọa độ giao điểm của của đồ thị hai hàm số và .
Túm tắt cỏch giải:
Kết quả:
Bài 3. (5 điểm) Tớnh gần đỳng giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số:
Túm tắt cỏch giải:
Kết quả:
Bài 4. (5 điểm) Cho dóy hai số xỏc định như sau:
, là số nguyờn dương cho trước.
Chứng tỏ rằng chỉ cú một giỏ trị bộ hơn 30 để cho cỏc giỏ trị của dóy số đều nguyờn. Khi đú tớnh chớnh xỏc cỏc giỏ trị 
Với giỏ trị tỡm được ở cõu a), lập cụng thức truy hồi tớnh theo và . Chứng minh.
Túm tắt cỏch giải:
Kết quả:
Bài 5. (5 điểm) Tỡm cỏc chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm của số tự nhiờn: 
Túm tắt cỏch giải:
Kết quả:
Bài 6. (5 điểm) 
Bỏc An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 thỏng với lói suất 0,72%/thỏng. Sau một năm, bỏc An rỳt cả vốn lẫn lói và gửi lại theo kỳ hạn 6 thỏng với lói suất 0,78%/thỏng. Gửi đỳng một số kỳ hạn 6 thỏng và thờm một số thỏng nữa thỡ bỏc An phải rỳt tiền trước kỳ hạn để sửa chữa nhà được số tiền là 29451583,0849007 đồng (chưa làm trũn). Hỏi bỏc An gửi bao nhiờu kỳ hạn 6 thỏng, bao nhiờu thỏng chưa tới kỳ hạn và lói suất khụng kỳ hạn mỗi thỏng là bao nhiờu tại thời điểm rỳt tiền ? Biết rằng gửi tiết kiệm cú kỳ hạn thỡ cuối kỳ hạn mới tớnh lói và gộp vào vốn để tớnh kỳ hạn sau, cũn nếu rỳt tiền trước kỳ hạn, thỡ lói suất tớnh từng thỏng và gộp vào vốn để tớnh thỏng sau. Nờu sơ lược quy trỡnh bấm phớm trờn mỏy tớnh để giải.
Túm tắt cỏch giải:
Kết quả:
Bài 7. (5 điểm) Cho đa thức 
Tớnh gần đỳng 
Tỡm hệ số chớnh xỏc của số hạng chứa trong khai triển và rỳt gọn đa thức P(x). 
Túm tắt cỏch giải:
Kết quả:
Bài 8. (5 điểm) 
	Trong ngày thi giải toỏn trờn mỏy tớnh cầm tay (20/12/2009), bạn Bỡnh đố bạn Chõu tỡm số nguyờn x nhỏ nhất sao cho khi bỡnh phương lờn thỡ được một số nguyờn cú 4 chữ số đầu là 2012 và 4 chữ số cuối là 2009. Em hóy giỳp bạn Bỡnh tỡm số này và viết chớnh xỏc số . Nờu sơ lược cỏch giải.
Túm tắt cỏch giải:
Kết quả:
Bài 9. (5 điểm) 
Tớnh gần đỳng nghiệm của hệ phương trỡnh: 
Túm tắt cỏch giải:
Kết quả:
Bài 10. (5 điểm) Một chậu nước hỡnh bỏn cầu bằng nhụm cú bỏn kớnh , đặt trong một khung hỡnh hộp chữ nhật (hỡnh 1). Trong chậu cú chứa sẵn một khối nước hỡnh chỏm cầu cú chiều cao . Người ta bỏ vào chậu một viờn bi hỡnh cầu bằng kim loại thỡ mặt nước dõng lờn vừa phủ kớn viờn bi (hỡnh 2). Tớnh bỏn kớnh của viờn bi (kết quả làm trũn đến 2 chữ số lẻ thập phõn)
Cho biết cụng thức tớnh thể tớch khối chỏm cầu của hỡnh cầu (O, R), cú chiều cao là: 
	Hỡnh 1	Hỡnh 2
Túm tắt cỏch giải:
Kết quả:
--------------HẾT-------------
Sở Giáo dục và Đào tạo	Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
	Thừa Thiên Huế	Giải toán trên máy tính CầM TAY 
	Đề thi chính thức	Khối 12 THPT - Năm học 2009-2010
	Đỏp ỏn và biểu điểm 
Bài
Cách giải
Điểm TP
Điểm toàn bài
1
 Trước khi tớnh, cần chuyển về Mode tớnh đơn vị đo gúc bằng Radian 
5
2
Phương trỡnh cho hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số: và là:
 .
Dựng chức năng SOLVE ta tỡm được hai nghiệm (khi lấy giỏ trị đầu là 0 và 1):
 và .
Dựng chức năng CALC để tớnh cỏc giỏ trị tung độ giao điểm:
 và .
Vậy: Hai đồ thị của hai hàm số đó cho cắt nhau tại hai điểm 
3
Hàm số: cú tập xỏc định của hàm số là: 
Đạo hàm của hàm số: 
Giải phương trỡnh, chỉ cú một nghiệm thực và hai nghiệm ảo.
Dựng chức năng CALC để tớnh giỏ trị của hàm tại 2 cận và tại điểm cực đại, ta được:
Tương tự, ta cú:
Vậy: 
4
a) .
Để thỡ (k < 30).
Thử với : chỉ cú là số nguyờn, cũn . Khi thử với thỡ đỳng với nhiều un liờn tiếp.
Với : Ta cú: 
b) Cụng thức truy hồi của un+2 cú dạng: . Ta cú hệ phương trỡnh:
Do đú: 
Chứng minh sơ lược:
Ta cú: (1)
Thay n bởi n +1: (2).
Trừ (1) cho (2) ta cú: 
Dóy số đơn điệu tăng, nờn: 
Hay: 
5
Ta cú: 
Do đú chu kỳ lặp lại là 10, nờn
Vậy: cú ba chứ số cuối là: 752
6
Số tiền nhận được cả vốn lẫn lói sau 4 kỳ hạn 3 thỏng và sau 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7 kỳ hạn 6 thỏng lần lượt là:
. Dựng phớm CALC lần lượt nhập giỏ tri của A là 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta được: 22804326,3 đồng; 232871568,78 đồng; 24988758,19 đồng; 26158232,06 đồng; 27382437,34 đồng ; 28663935,38 đồng; 30005407,56 đồng
Ta cú: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56,
Nờn số kỳ hạn gửi sỏu thỏng đủ là: 6 kỳ hạn.
Giải phương trỡnh sau, bằng dựng chức năng SOLVE và nhập cho A lần lượt là 1 ; 2; 3 ; 4; 5, nhập giỏ trị đầu cho X là 0,6 (vỡ lói suất khụng kỳ hạn bao giờ cũng thấp hơn cú kỳ hạn)
X = 0,68% khi A = 4.
Vậy số kỳ hạn 6 thỏng bỏc An gửi tiết kiệm là: 6 kỳ hạn ; số thỏng gửi khụng kỳ hạn là: 4 thỏng và lói suất thỏng gửi khụng kỳ hạn là 0,68%
7
a) 
b) Hệ số của số hạng chứa là:
8
Cỏc số cú 4 chữ số mà khi bỡnh phương lờn cú 4 chữ số cuối là 2009 là:
 2003, 7003, 3253, 8253, 1747, 6747, 2997, 7997.
 Số cần tỡm là: x = 14186747 
9
Đặt , Hệ phương trỡnh trở thành: 
Giải phương trỡnh (2) ta được một nghiệm thực duy nhất: . 
Thay vào (1) ta được: 
;
Vậy: Hệ phương trỡnh cú nghiệm gần đỳng là: 
10
Gọi là bỏn kớnh viờn bi hỡnh cầu. Điều kiện: 
Thể tớch khối nước hỡnh chỏm cầu khi chưa thả viờn bi vào: 
Khi thả viờn bi vào thỡ khối chỏm cầu gồm khối nước và viờn bi cú thể tớch là:
Ta cú phương trỡnh: .
Giải phương trỡnh ta cú cỏc nghiệm: (loại); và (loại).
Vậy: Bỏn kớnh viờn bi là