Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh giải Toán trên máy tính casio khối 12 THPT - Năm học 2007 - 2008

Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o	Kú thi chän häc sinh giái tØnh
	Thõa Thiªn HuÕ	Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio 
	§Ò thi chÝnh thøc	Khèi 12 THPT - N¨m häc 2007-2008
Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi: 01/12/2007
Chú ý: - Đề thi gồm 4 trang
 - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
Điểm của toàn bài thi
Các giám khảo
(Họ, tên và chữ ký)
Số phách
(Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi)
Bằng số
Bằng chữ
Giám khảo 1:
Giám khảo 2:
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy 
Bài 1. (5 điểm) Cho các hàm số và . Giá trị nào của a thoả mãn hệ thức
Cách giải
Kết quả
Bài 2. (5 điểm) Tính gần đúng tọa độ các điểm uốn của đồ thị hàm số .
Cách giải
Kết quả
Bài 3. (5 điểm) Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 
Cách giải
Kết quả
Bài 4. (5 điểm) Cho 2 dãy số và với : 
 với n = 1, 2, 3, , k, ..
Tính 
Viết quy trình ấn phím liên tục tính và theo và .
Lập công thức truy hồi tính un+1 theo un và un-1; tính vn+1 theo vn và vn-1.
Cách giải
Kết quả
Bài 5. (5 điểm) Xác định các hệ số a, b, c của hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 biết rằng f(x) chia cho (x – 16) có số dư là 29938 và chia cho (x2 – 10x + 21) có đa thức số dư là (Kết quả lấy chính xác). Tìm khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f(x) với các giá trị a, b, c vừa tìm được.
Cách giải
Kết quả
Bài 6. (5 điểm) Theo chính sách tín dụng mới của Chính phủ cho học sinh, sinh viên vay vốn để trang trải chi phí học đại học, cao đẳng, THCN: Mỗi sinh viên được vay tối đa 800.000 đồng/tháng (8.000.000 đồng/năm học) với lãi suất 0,5%/tháng. Mỗi năm lập thủ tục vay hai lần ứng với hai học kì và được nhận tiền vay đầu mỗi học kì (mỗi lần được nhận tiền vay là 4 triệu đồng). Một năm sau khi tốt nghiệp đã có việc làm ổn định mới bắt đầu trả nợ. Giả sử sinh viên A trong thời gian học đại học 4 năm vay tối đa theo chính sách và sau khi tốt nghiệp một năm đã có việc làm ổn định và bắt đầu trả nợ.
Nếu phải trả xong nợ cả vốn lẫn lãi trong 5 năm thì mỗi tháng sinh viên A phải trả bao nhiêu tiền ?
Nếu trả mỗi tháng 300.000 đồng thì sinh viên A phải trả mấy năm mới hết nợ ?
Cách giải
Kết quả
Bài 7. (5 điểm)
T×m chiÒu dµi bÐ nhÊt cña c¸i thang ®Ó nã cã thÓ tùa vµo t­êng vµ mÆt ®Êt, ngang qua cét ®ì cao 4 m, song song vµ c¸ch t­êng 0,5 m kÓ tõ tim cña cét ®ì (h×nh vÏ)
Cách giải
Kết quả
Bài 8. (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A(-1; 3) cố định, còn các đỉnh B và C di chuyển trên đường thẳng đi qua 2 điểm M(-3 ; 1), N(4 ; 1). Biết rằng góc . Hãy tính tọa độ đỉnh B.
Cách giải
Kết quả
Bài 9. (5 điểm) Cho hình ngũ giác đều nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính R = 3,65 cm. Tính diện tích (có tô màu) giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính AB là cạnh của ngũ giác đều và đường tròn (O) (hình vẽ).
Cách giải
Kết quả
Bài 10. (5 điểm) Cho hình chóp thập diện đều có đáy nội tiếp trong đường tròn có bán kính r = 3,5 cm, chiều cao h = 8 cm
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp.
O
Tìm thể tích phần ở giữa hình cầu nội tiếp và hình cầu ngoại tiếp hình chóp đều đã cho.
Cách giải
Kết quả
--------------HẾT-------------
	Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o	Kú thi chän häc sinh giái tØnh
	Thõa Thiªn HuÕ	Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio 
	Khèi 12 THPT - N¨m häc 2007-2008	
SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM 
Bài
Cách giải
Kết quả
Điểm
1
 với 
 với 
- Giải phương trình tìm a (dùng chức năng SOLVE):
1,5
1,5
2,0
2
Tính đạo hàm cấp 2 để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số.
Giải phương trình để tìm hoành độ các điểm uốn
, 
, 
, 
1,0
1,0
3,0
3
Theo cách giải phương trình lượng giác
Đặt 
Dùng chức năng SOLVE , lấy giá trị đầu của X là ta được 2 nghiệm t, loại bớt nghiệm 
Giải pt 
Phương trình tương đương:
Giải pt được 1 nghiệm: 
1,0
2,0
2,0
4
Qui trình bấm phím:
1 Shift STO A, 2 Shift STO B, 1 Shift STO D, Alpha D Alpha = Alpha D +1, Alpha :,C Alpha = Alpha A, Alpha :, Alpha A Alpha = 22 Alpha B - 15 Alpha A, Alpha :, Alpha B, Alpha =, 17 Alpha B - 12 Alpha A, = = =...
c) Công thức truy hồi:
u5 = -767 và v5 = -526; 
u10 = -192547 và v10 = -135434
u15 = -47517071 và v15 = -34219414
u18 = 1055662493 và v18 = 673575382
u19 = -1016278991 và v19 = -1217168422
 và 
2,5
1,5
1,0
5
Tìm các hệ số của hàm số bậc 3:
Tìm các điểm cực trị, tìm khoảng cách giữa chúng
 a = 7; b = 13	4 điểm
c = 
3,0
2,0
6
a) Sau nửa năm học ĐH, số tiền vay (cả vốn lẫn lãi): 
Sau 4 năm (8 HK), số tiền vay (cả vốn lẫn lãi):
Sau một năm tìm việc, vốn và lãi tăng thêm:
+ Gọi x là số tiền hàng tháng phải trả sau 5 năm vay, sau n tháng, còn nợ (L = 1,005):
+ Sau 5 năm (60 tháng) trả hết nợ thì P = 0
b) Nếu mỗi tháng trả 300000 đồng, thì phải giải phương trình: 
0 Shift STO A, 0 Shift STO D, D Alpha = Alpha D + 1, Alpha : Alpha A Alpha = (Alpha A + 4000000) 1.0056.
Ấn phím = nhiều lần cho đến khi D = 8 ta được A = 36698986
Alpha A Alpha = Alpha A 1.00512
A = 38962499
0,0051,005x-1A-300000(1.005x - 1) = 0
Dùng chức năng SOLVE, giải được x = 208,29, tức phải trả trong 209 tháng (17 năm và 5 tháng) mới hết nợ vay.
1,0
1,0
1,0
2,0
Bài
Cách giải
Kết quả
Điểm
7
Cho AB = l lµ chiÒu dµi cña thang, HC = 4 m lµ cét ®ì, C lµ giao ®iÓm cña cét ®ì vµ thang, x lµ gãc hîp bëi mÆt ®Êt vµ thang (h×nh vÏ). Ta cã:
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
8
 Pt đường thẳng MN 
 Hệ số góc của đường thẳng AB là: 
Gán giá trị k cho biến A. Vì đường thẳng AB đi qua điểm A(-1; 3) nên: b = 3 + A, gán giá trị đó cho biến B..
Giải hệ pt:
 ta được tọa độ điểm B:
 và 
1,0
2,0
2,0
9
+ Tính bán kính của nửa đường tròn
+ Tính diện tích viên phân giới hạn bởi AB và (O)
+ Hiệu diện tích của nửa đường tròn và viên phân:
, gán cho A
, gán cho B.
2,0
2,0
1,0
10
a) Tính độ dài cạnh và trung đoạn của hình chóp
b) Phân giác góc SMO cắt SO tại I, là mặt cầu nội tiếp hình chóp đều có tâm I, bán kính IO.
Trung trực đoạn SA trong mặt phẳng SAO cắt SO tại J. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều có tâm J, bán kính SJ .
Lưu ý: gán các kết quả trung gian cho các biến để kết quả cuối cùng không có sai số lớn. 
a) , gán cho A
, gán cho B
 SM = , gán cho C.
b) 
 (cm ) 
Hiệu thể tích:
= 407,5157 cm3 
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
1,0
1,0