Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hưng Yên THCS năm học 2013 - 2014 môn thi: Toán lớp 9

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 HƯNG YấN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THCS
NĂM HỌC 2013 - 2014
 Mụn thi: Toỏn lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Cõu I. ( 3,0 điểm) Cho . Tớnh giỏ trị của biểu thức sau:
 A =.
Cõu II. (5,0 điểm)
 1. Tỡm cỏc số nguyờn thỏa món .
 2. Giải hệ phương trỡnh: 
Cõu III. ( 4,0 điểm)
 1. Cho parabol (P): và đường thẳng (d): . Tỡm số nguyờn sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A, B thỏa món AB = .
 2. Cho , chứng minh rằng : 
Cõu IV. (6,0 điểm)
 Cho tam giỏc ABC nhọn ( AB < AC) cú cỏc đường cao BD và CE cắt nhau tại H 
( D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Cỏc đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BEI và tam giỏc CDI cắt nhau tại K ( K khỏc I ). Gọi M là giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng:
 1. Cỏc điểm A, E, H, K, D thuộc một đường trũn.
 2. A, K, I thẳng hàng.
 3. MEC = MKC ( Kớ hiệu ABC là số đo gúc ABC)
Cõu V. ( 2,0 điểm)
 Cho 19 điểm nằm trong hay trờn cạnh của một lục giỏc đều cạnh bằng 4 cm. Chứng minh rằng luụn tồn tại 2 trong số 19 điểm đó cho mà khoảng cỏch giữa chỳng khụng vượt quỏ cm.
 --------------------Hết-------------------
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu và mỏy tớnh cầm tay.
 Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
 Họ và tờn thớ sinh: ..........................................; Số bỏo danh: .....................................
Sở giáo dục và đào tạo
 Hưng yên
đề chính thức
Hướng dẫn chấm
đề thi chọn học sinh giỏi THCS
Năm học 2013 - 2014
Môn toán lớp 9
 ( Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
Chỳ ý: 1) Hướng dẫn chấm này trỡnh bầy cỏc bước giải và cỏch cho điểm từng phần của mỗi cõu. Bài làm của học sinh yờu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cỏch khỏc mà đỳng thỡ chấm điểm từng phần tương ứng.
 2) Việc chi tiết húa ( nếu cú) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm khụng làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. 
 Cõu
Hướng dẫn chấm và kết quả
Điểm
Cõu I
3,0 điểm
Cho , 
 tớnh A = .
Ta cú = = 
 (a)
1,0 
Do đú:
0,5 
 - ++4 = 4
0,5 
Từ (a); 
 0,5 
Do đú A = 
 0,5 
Cõu II.1
 2,0
điểm
 Tỡm cỏc số nguyờn thỏa món .
Vỡ nguyờn nờn ta cú: (*)
 0,5 
 Ta cú , lẻ 
 0,5 
Với thỡ (*) ( thỏa món)
 0,5
 Với thỡ (*) ( thỏa món)
 Vậy .
 0,5 
Cõu II.2
 3,0
điểm
Giải hệ 
 Nhõn vế trỏi của (1) với vế phải của (2) và nhõn vế phải của (1) với vế trỏi của (2) ta cú:
 0,5
 0,5
 Biến đổi nhận được phương trỡnh: 
 0,5
 Với tỡm được ( thử vào hệ khụng thỏa món)
 ( thử vào hệ thấy thỏa món)
 0,5
Với tỡm được ( thử vào hệ khụng thỏa món)
 0,5
Với tỡm được ( thử vào hệ khụng thỏa món)
 Vậy hệ cú nghiệm 
 0,5
Cõu III.1
2,0 điểm
 Cho parabol (P): và đường thẳng (d): . Tỡm số nguyờn sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A, B thỏa món AB = .
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
 (3)
 (3) cú 
Với thỡ (3) cú hai nghiệm phõn biệt là hoành độ cỏc điểm A, B
 0,5 
Khi đú A; B 
 Do đú AB = AB2 = 5 
 0,5 
 0,5
 nguyờn thỏa món (4) thỡ là ước của 2 
 Thử vào (4) thấy khụng thỏa món.
 Vậy là giỏ trị cần tỡm.
 0,5
Cõu III.2
2,0 điểm
Cho , chứng minh rằng : 
Sử dụng bất đăng thức Cụsi cho 2 số dương ta cú:
 1,0
Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trờn ta cú: (3)
 0,5 
Từ ta cú (4)
Từ (3) và (4) suy ra (Đpcm)
 ( Dấu bằng xẩy ra khi )
Lưu ý: Học sinh khụng nhất thiết phải chỉ ra dấu bằng
 0,5
Cõu IV
6,0 điểm
1. 
Ta cú: nội tiếp (5)
 0,5 
 Lại cú: Tứ giỏc nội tiếp 
 Tứ giỏc nội tiếp 
 do đú: 
 =
 = = 
 nội tiếp (6)
 1,0
 Từ (5) và (6) suy ra thuộc một đường trũn.
 0,5
2. 
Ta cú: Tứ giỏc nội tiếp (7)
 Từ (6) (8)
 Từ (7) và (8) (9)
 1,0
Tứ giỏc nội tiếp (10)
 Từ (9) và (10) suy ra thẳng hàng.
 1,0
3. 
 vuụng tại cú là trung tuyến cõn 
 0,5
 cú 
 Mà tứ giỏc nội tiếp 
 Do đú (11)
 0,5
Tứ giỏc nội tiếp (12)
 0,5
Từ (11) và (12) suy ra nội tiếp.
 0,5
Cõu V
2,0
điểm
Cho 19 điểm nằm trong hay trờn cạnh của một lục giỏc đều cạnh bằng 4cm. Chứng minh rằng luụn tồn tại 2 trong số 19 điểm đó cho mà khoảng cỏch giữa chỳng khụng vượt quỏ cm.
Chia lục giỏc đều ABCDEF tõm O thành 6 tam giỏc đều cạnh 4cm (hỡnhvẽ)
Theo nguyờn lý Điriclờ cú ớt nhất 4 điểm trong 19 điểm nằm trong hay trờn cạnh một trong 6 tam giỏc đú. Khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử tam giỏc đú là OAB.
 0,5 
Chia tam giỏc đều OAB trọng tõm G thành 3 tứ giỏc nội tiếp ( hỡnh vẽ) với GM AB; GN OB; GP OA.
 OAB đều cạnh bằng 4 cú đường cao GA = 
 0,5
Cỏc tứ giỏc GMBN, GMAP, GPON nội tiếp trong đường trũn đường kớnh GB, GA, GO đều bằng .
 0,5
 Theo nguyờn lý Điriclờ cú ớt nhất 2 điểm trong 4 điểm đang xột nằm trong hay trờn cạnh một trong 4 tứ giỏc núi trờn, giả sử tứ giỏc đú là GMBN khoảng cỏch giữa hai điểm đú khụng vượt quỏ đường kớnh GB = của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc điều phải chứng minh.
 0,5