Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh khối 12 THPT - Năm học 2006 - 2007 môn Toán

Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2006-2007 
 §Ò thi chÝnh thøc 
 Moân : TOAÙN ( Voøng 1) 
 Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt 
 BAØI 1:(5 ñieåm) 
 Vôùi caùc tham soá thöïc m, p (m ≠ 0), xeùt caùc ñoà thò : 
 (Hm ) : y = x
mx 22 − vaø (Cp) : . 3 (2 1)y x p x= − −
 a/ Tìm ñieàu kieän cuûa m vaø p ñeå caùc ñoà thò (Hm ) vaø(Cp) tieáp xuùc nhau . 
 b/ Chöùng toû raèng khi caùc ñoà thò (Hm ) vaø(Cp) tieáp xuùc nhau thì tieáp ñieåm cuûa chuùng 
naèm treân ñoà thò : y = x - x3 
 BAØI 2:(3 ñieåm) 
 Chöùng minh raèng tam giaùc ABC coù ít nhaát moät goùc baèng 450 khi vaø chæ khi : 
 2(sinA.sinB.sinC - cosA.cosB.cosC) = 1 . 
 BAØI 3 :(6 ñieåm) 
 Treân maët phaúng, xeùt moät hình vuoâng ABCD vaø moät tam giaùc ñeàu EFG caét nhau taïo 
thaønh moät thaát giaùc loài MBNPQRS ôû hình döôùi 
S
G
Q
R
E
D CP
N
F
BMA
 a/ Chöùng minh raèng : “ Neáu SM = NP = QR thì MB = PQ vaø BN = RS ”. 
 b/ Chöùng minh raèng : “ Neáu MB = PQ vaø BN = RS thì SM = NP = QR ” . 
 BAØI 4:(6 ñieåm) 
 Xeùt caùc soá thöïc thay ñoåi x,y thoûa ñieàu kieän : x2 - xy + y2 = 3 . 
 a/ Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa T = x2y - xy2 . 
 b/ Tìm taát caû caùc caëp (x; y) ñeå T ñaït giaù trò nhoû nhaát . 
 ------------- Heát --------------- 
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2006-2007 
 §Ò thi chÝnh thøc 
 Moân : TOAÙN ( Voøng 1) 
 ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM 
BAØI 1 NOÄI DUNG ÑIEÅM
(Hm ) vaø(Cp) tieáp xuùc nhau khi vaø chæ khi heä sau coù nghieäm: 



−−=+
−−=−
)12(31
)12(
2
2
2
3
22
px
x
m
xpx
x
mx
1 
⇔ ( x 


−−=+
−−=−
2422
2422
)12(3
)12(
xpxmx
xpxmx ≠ 0 ) 0,5 
⇔


=
=
22
24
pxm
mx
 . Vôùi m≠ 0 thì x≠ 0 . 0,5 
⇔


=
=
mpm
mx
2
2
 (m≠ 0 ) 0,5 
Caâu a 
(3ñ) 
Ñieàu kieän ñeå (Hm ) vaø(Cp) tieáp xuùc nhau : p = m (m≠ 0 ) . 0,5 
Toïa ñoä cuûa tieáp ñieåm thoûa : x4 = m2 vaø y =
x
mx 22 − (m 0 ) ≠ 1 Caâu b (2ñ) 
Do ñoù : y =
x
xx 42 − = x - x3. Tieáp ñieåm ôû treân ñoà thò: y = x - x3 1 
BAØI 2 NOÄI DUNG ÑIEÅM
Cho tam giaùc ABC coù goùc baèng450 chöùng toû: 
2(sinA.sinB.sinC - cosA.cosB.cosC) = 1 (1) 
Chaúng haïn A= 450,veá traùi cuûa (1) baèng : 
2 (sinB.sinC-cosB.cosC)= - 2 cos(B+C)= 2 cosA=1 
1 
Giaû söû (1) ñuùng .Ta co:ù 
(1) sinA[cos(B-C) -cos(B+C)] -cosA[cos(B-C) +cos(B+C)] = 1 ⇔
⇔ cos(B-C)[sinA-cosA]+sinAcosA +cos2A = 1 
⇔ (sinA-cosA)[cos(B-C) -sinA] = 0 
⇔ 2 sin(A-450)[cos(B-C) -cos(900-(B+C))] = 0 
⇔ sin(A-450)sin(B-450)sin(C-450) = 0 (2) 
1,5 
(3ñ) 
Do A,B,C laø goùc tam giaùc neân töø (2) suy ra tam giaùc ABC coù goùc 
baèng 450 
0,5 
BAØI 3 NOÄI DUNG ÑIEÅM
Choïn heä truïc Axy nhö hình veõ : 
Goïi a laø caïnh hình vuoâng ABCD . 
 A(0,0) , B(a,0), C(a,a), D(0,a) 
M(m,0), N(a,n) ,P(p,a),Q(q,a),R(0,r), S(0,s). 
 MB= a-m; PQ= p-q; BN= n ; RS= r-s 
1 
Neáu SM = NP = QR keát hôïp vôùi EF = FG = GE ,ta coù: SM = kEF ; 
NP = kFG ;QR = kGE vôùi k =
EF
SM . 
Nhöng : EF +FG +GE =O neân : SM + NP +QR =O 
1 
Caâu a 
(3ñ) 
Do SM + NP +QR = (m+p-a-q; -s -n +r ) neân: m+p-a-q = 0 ; 
 -s -n +r = 0. Hay a-m = p-q vaø n = r-s ,töùc laø :MB = PQ vaø BN = RS. 
1 
Neáu MB = PQ vaø BN = RS thì MB +PQ=O , BN + RS =O 0,5 
Keát hôïp vôùi SM +MB +BN + NP +PQ+QR + RS =O , 
 ta coù: SM + NP +QR =O . 
0,5 
Nhöng : SM = xEF ; NP = yFG ;QR = zGE 
vôùi x = 
EF
SM ; y = 
FG
NP ; z = 
GE
QR 
neân : xEF + yFG +zGE = O 
1 
 (x-z)⇔ EF = (z-y)FG ⇔ x-z = 0 vaø z-y = 0 (vìEF vaøFG khoâng 
cuøng phöông ). 
0,5 
Caâu b 
(3ñ) 
Töø x = y = z vaø EF = FG = GE suy ra : SM = NP = QR. 0,5 
BAØI 4 NOÄI DUNG ÑIEÅM
x2 - xy + y2 = 3 ⇒ x2 + y2 = xy+ 3. 
T = x2y - xy2 = xy(x-y) 
⇒ T2 = (xy)2(x2 + y2 - 2xy) = t2(t+3-2t) = 3t2 - t3 vôùi t = xy. 
1 
Do x2 + y2 = xy+ 3 vaø x2 + y2 ≥ 2 xy neân t+3 2≥ t . Vì vaäy t ∈[ -1 ; 3] 0,5 
Caâu a 
(3,5ñ) 
Giaù trò lôùn nhaát cuûa f(t) = 3t2 -t3 treân ñoïan [ -1 ; 3] laø 
 Max{f(-1); f(3), f(0), f(2)} = 4 
(do : f’(t) = 6t-3t2 = 3t(2-t); f(-1) = 4 = f(2); f(3) = 0 = f(0) ) . 
Vaäy: T2 4 . ≤
1 
x
y
A M
B
F
N
P CD
E
R
Q
G
S
T2 4 -2 T≤ 2. Vôùi x = -1, y=1 thì x≤ ⇔ ≤ 2 - xy + y2 = 3 vaø T=2. 
Vaäy giaù trò lôùn nhaát cuûa T laø 2 . 
1 
 T ≥ -2 ; T = -2 trong caùc tröøông hôïp sau : 
 (I) (II) 



=+−
−=
−=−
3
1
2
22
22
yxyx
xy
xyyx



=+−
=
−=−
3
2
2
22
22
yxyx
xy
xyyx
1 
Giaûi heä (I) : x =1; y= -1 . 0,5 
Giaûi heä (II) : x = -2; y= -1 hay x = 1; y= 2 . 0,5 
Caâu b 
(2,5ñ) 
T ñaït giaù trò nhoû nhaát trong tröôøng hôïp : 
(x,y) ∈ (1; -1) , (1; 2) , (-2; -1) { } 0,5 
 Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2006-2007 
 §Ò thi chÝnh thøc 
 Moân : TOAÙN ( Voøng 2) 
 Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt 
 BAØI 1: (3 ñieåm) 
 Giaûi heä phöông trình : 


+−+=−
=++−−+
)2ln()2ln(
3
023756 22
yxyx
yxxyyx 
 BAØI 2: (6 ñieåm) 
 Cho laêng truï töù giaùc (L) tuøy y. Giaû söû raèng beân trong (L) coù moät hình caàu (S) baùn kính 
R tieáp xuùc vôùi taát caû caùc maët cuûa (L) . 
 a/ Goïi Sñ laø dieän tích moät maët ñaùy cuûa (L), Sxq laø toång caùc dieän tích maët beân cuûa (L). 
 Chöùng toû raèng : Sxq = 4Sñ . 
 b/ Chöùng minh raèng toång taát caû dieän tích caùc maët cuûa (L) lôùn hôn hoaëc baèng 24R2 . 
 BAØI 3:(5 ñieåm) 
 Cho daõy soá (un) xaùc ñònh bôûi : 
 vaø vôùi : 1 22; 3u u= = 3n ≥ 1 2( 2) 2n n nu nu n u n− − 4= − − − + 
 a/ Tìm ñeå n 2007nu − coù giaù trò nhoû nhaát . 
 b/ Tìm soá dö khi chia cho 2006 . 2007u
 BAØI 4:(6 ñieåm) 
 Xeùt phöông trình haøm : 
 [ ]( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 1f xy f x f y f x y xy− ⋅ = + − − vôùi moïi soá thöïc ,x y . 
 a/ Tìm haøm soá chaün thoûa maõn phöông trình haøm treân . 
 b/ Tìm taát caû caùc haøm soá thoûa maõn phöông trình haøm treân . 
 ------------- Heát --------------- 
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2006-2007 
 §Ò thi chÝnh thøc 
 Moân : TOAÙN ( Voøng 2) 
 ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM 
BAØI 1 NOÄI DUNG ÑIEÅM



+−+=−
=++−−+
)2()2ln()2ln(
3
)1(023756 22
yxyx
yxxyyx
 Ñieàu kieän : x> -2 , y> -2 . 
0,5 
Giaûi y theo x töø (1) : y2 + (3-5x)y + 6x2 - 7x + 2= 0 
y∆ = (3-5x)2 - 4(6x2 - 7x + 2) = x2 - 2x + 1 = (x-1)2 ; y = 3x - 2 , y = 2x - 1. 
0,5 
Vieát laïi (2) : x - 3ln(x+2) = y - 3ln(y+2) hay f(x) = f(y) vôùi f(t) = t - 3ln(t+2). 
Söï bieán thieân cuûa f(t) trong khoûang (-2;+∞ ): f’(t)= 1-
2
3
+t = 2
1
+
−
t
t 
f(t) nghòch bieán trong khoûang (-2; 1) ; f(t) ñoàng bieán trong khoûang (1; + ) ∞
0,5 
Neáu x = 1 thì y = 1 vaø (1; 1) laø moät nghòeâm cuûa heä. 0,5 
(3ñ) 
Neáu x, y trong khoûang (-2; +∞ ) thoûa (1) vaø x≠ 1,thì f(x) < f(y) . 
Thaäy vaäy, do y = 3x-2 hay y = 2x - 1 neân y - x = 2(x-1) hay y - x = x - 1 
Vôùi x > 1 thì töø y = 3x-2 hay y = 2x - 1 ñeàu coù y > x> 1. Suy ra f(y) > f(x). 
Vôùi x f(x). 
Vaäy nghieäm cuûa heä laø : (x, y) =(1,1) . 
1 
BAØI 2 NOÄI DUNG ÑIEÅM
Chieàu cao cuûa (L) laø 2R. Theå tích cuûa (L) : V= 2R.Sñ (*) 0.5 
Goïi I laø taâm hình caàu (S). Laêng truï (L) hôïp bôûi 6 hình choùp coù ñænh laø I vaø ñaùy 
laàn löôït laø 4 maët beân vaø 2 maët ñaùy .Caùc hình choùp naøy ñeàu coù chieàu cao baèng 
R. Vì vaäy cuõng coù : V= 
3
1 R(Sxq +2Sñ ) (**) 
1 
Caâu a 
(2ñ) 
 So saùnh caùc keát quaû (*) vaø (**) suy ra : Sxq = 4Sñ 0,5 
Dieän tích toøan phaàn cuûa (L) : Stp = Sxq + 2Sñ = 2
3 Sxq ; Stp ≥ 24R2 
⇔ Sxq≥ 16R2 
1 
Goïi d laø ñoä daøi caïnh beân cuûa (L) . 
Maët phaúng qua I vuoâng goùc vôùi caïnh beân cuûa (L) 
caét hình caàu (S) theo moät hình troøn (C ), taâm I baùn kính R, 
vaø caét caùc caïnh beân laàn löôït taïi caùc ñieåm M, N, P, Q. 
Töù giaùc MNPQ ngoïai tieáp (C ) . 
 Ta coù : Sxq = d(MN + NP + PQ + QM) 
1 
Caâu b 
(4ñ) 
Chuù yù : d ≥ 2 R. Ta chöùng minh theâm: MN + NP + PQ + QM ≥ 8R 0,5 
m
m
I
RR
RR
Q
P
N
M
 Ñaët : . · · · ·2 , 2 , 2 , 2 m QMN n MNP p NPQ q PQM= = = = 
Ta coù: m, n, p, q ∈ (0,
2
π ) 
vaø m + n + p + q = π ; 
 MN + NP + PQ + QM = 2R(cotgm + cotgn + cotgp + cotgq) 
Do: [ ]cot1 2cot cot - 2cot ( ) 1 os( - ) 0
2 sin sin
m ng
gm gn g m n c m n
m n
+
 + + = −   ≥ 
 vôùi moïi m, n∈ 0;
2
π    
neân : cotgm + cotgn 2cotg[≥
2
1 (m+n)]. 
Suy ra :cotgm + cotgn + cotgp + cotgq 4cotg[≥
4
1 (m + n + p + q)] = 4cotg
4
π = 4.
1 
 Töø ñoù : MN + NP + PQ + QM ≥ 8R vaø Sxq ≥ 16R2 . 
Vì vaäy : Stp 24R2 .Daáu baèng trong tröôøng hôïp (L) laø hình laäp phöông caïnh 
2R. 
≥
0,5 
BAØI 3 NOÄI DUNG ÑIEÅM
(un): u1= 2 ,u2= 3 , un= nun-1- (n-2)un-2 - 2n + 4 vôùi n 3. ≥
u3 = 5, u4 =10, u5 = 29, u6 =126, u7 = 727, u8 = 5048 . 
0,5 
un= nun-1 - (n-2)un-2 - 2n + 4 = un-1 + (n-1)[un-1 - un-2] + [un-2- 2(n - 2)] vôùi n 3 ≥
Duøng qui naïp, vôùi n 3 ta coù: un> 2n vaø un> un-1 . ≥
1 
Vaäy giaù trò un - 2007 nhoû nhaát trong tröôøng hôïp n = 7 . 0,5 
(un): u1 = 2, u2 = 3, un= nun-1- (n-2)un-2 - 2n + 4 vôùi n 3 ≥
Ñaët : un = vn+ n , ta coù : v1= 1 , v2 = 1 
vôùi n 3 : v≥ n+ n = n(vn-1 + n - 1) - (n - 2)(vn-2 + n - 2) - 2n + 4 
⇔ vn- vn-1= (n -1)vn-1 - (n-2)vn-2 . 
1 
vn - v2= (vn- vn-1) + (vn-1- vn-2) + .......+ (v4- v3) + (v3- v2) 
 =[(n -1)vn-1- (n-2)vn-2] + [(n-2)vn-2 - (n - 3)vn-3] +.....+ (3v3-2v2)+(2v2- 1v1) 
 =(n -1)vn-1 - v1 
Do ñoù : vn= (n -1)vn-1 vôùi n 2 ≥
1 
Suy ra: vn= (n -1)vn-1 = (n -1)(n - 2)vn-2 = ....= (n -1)(n -2)(n -3)........1.v1 =(n -1)! 
vaø un = (n-1)! + n . 
0.5 
Caâu a 
(2ñ) 
Caâu b 
(3ñ) 
Töø ñoù : u2007 = 2006! + 2007 chia cho 2006 dö 1 . 0,5 
BAØI 4 NOÄI DUNG ÑIEÅM
 Ta coù: 
 f(xy) - f(x).f(y) = 3(f(x+y) -2xy -1) (*) vôùi moïi soá thöïc x, y vaø: f(-x) = f(x) 
ÔÛ (*) thay x bôûi 
2
x vaø y bôûi 
2
x ta ñöôïc: f(
4
2x ) - f2(
2
x ) = 3(f(x) -
2
2x - 1) (1) 
ÔÛ (*) thay x bôûi 
2
x vaø y bôûi -
2
x ta ñöôïc : f(
4
2x ) - f2(
2
x ) = 3(f(0) +
2
2x - 1) (2) 
Töø (1), (2) suy ra: f(x) = x2 + f(0) . 
1 
Tính f(0): Töø (*) ta coù: f(0) - f(x).f(0) = 3(f(x) -1) ⇔ ( f(0) +3)(f(x) -1) = 0 , vôùi 
x tuøy yù. 
Chuù yù haøm soá haèng f(x) =1 khoâng thoûa (*), neân toàn taïi x maø f(x) 1. ≠
Do ñoù f(0) = - 3 
1 
Caâu a 
(2,5ñ) 
Thöû laïi thaáy haøm soá chaün f(x) = x2 - 3 thoûa phöông trình haøm (*). 0,5 
Töø (*) ta coù : f(x + y) = 
3
1 f(xy) -
3
1 f(x).f(y) + 2xy + 1 (4) vôùi moïi soá thöïc x, y 
Thay y = 1 vaøo (4) ta coù : f(x+1) = af(x) + 2x+1 (5) 
vôùi x tuøy yù vaø a =
3
1 (1 - f(1)) . 
0,5 
Thay x bôûi x + y vaøo (5) :f(x + y + 1) = af(x + y) + 2(x + y) +1 
Duøng (4) ta ñöôïc: 
f(x + y + 1) = a[
3
1 f(xy) -
3
1 f(x).f(y) + 2xy + 1] +2(x+ y) +1 (6) vôùi x, y tuøy y.ù 
Thay y = -1 vaøo (6): f(x) =
3
a f(- x) - 
3
a f(x) .f(-1) +2(1 - a)x + a - 1 (7) 
0,5 
Thay x = -1 vaøo (5) vaø ñeå yù f(0) = -3 ta coù : af(-1) = -2 . 
Vì vaäy (7) trôû thaønh : 
 3f(x) = af(- x) +2f(x) + 6(1 - a)x + 3(a-1) 
hay: f(x) = af(- x) + 6(1 - a)x + 3(a-1) (8) vôùi x tuøy yù . 
0,5 
Thay x bôûi - x vaøo (8) : f(- x)= af(x) - 6(1 - a)x + 3(a-1) (9) 
Töø (8), (9) ta coù: f(x) = a[af(x) - 6(1 - a)x + 3(a -1) ] + 6(1- a)x + 3(a-1) 
 Hay : (1 - a2)f(x) = 6(1 - a)2x + 3(a2 - 1) (10) vôùi x tuøy yù 
0,5 
Neáu a = -1 thì (10) daãn ñeán maâu thuaån . 
Neáu a = 1 thì (10) hieån nhieân, nhöng (9) trôû thaønh: f(-x) = f(x) vôùi x tuøy yù. Ñaõ 
xeùt ôû caâu a/ 
Neáu a2 1 thì (10) daãn ñeán : f(x) = 6≠
a
a
+
−
1
1 x - 3 . (11) vôùi x tuøy yù 
0,5 
Caâu b 
(3,5ñ) 
Thay x= 1 vaøo (11) : f(1) = 
a
a
+
−
1
93 .Keát hôïp vôùi a =
3
1 (1 - f(1)) ,ta coù : 
 1 - 3a = 
a
a
+
−
1
93 ⇔ 3a2- 7a + 2 =0⇔ a = 2 ; a = 
3
1 
0,5 
Thay a vaøo (11) : vôùi a = 2 ta coù: f(x) = -2x - 3; vôùi a=
3
1 ta coù: f(x) = 3x - 3 
Thöû laïi thaáy caùc haøm soá : f(x) = -2x -3 vaø f(x) = 3x -3 thoûa phöông trình haøm 
(*) 
Caùc nghieäm cuûa phöông trình haøm (*) : 
f(x) = -2x - 3; f(x) = 3x - 3 vaø f(x) = x2 -3 . 
0,5