Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 năm học 2005 - 2006 môn Toán

UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2005-2006
Ngày thi: 13/12/2005
Môn: TOÁN – Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)
ĐỀ BÀI
Bài 1: (2 điểm)
1) Giải phương trình: xxx 314 23 
2) Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau đúng với mọi x < 0.
0)53()53)(1(2.  xxx mm
Bài 2: (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình: 




128
4
22 yx
yxyx
2) Với mọi x thỏa:
2
0  x , chứng minh: 1tansin 222  xxx
Bài 3.(2,5 điểm)
Cho hình tứ diện OABC
1) Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình tứ diện OABC và x1; x2; x3; x4; lần
lượt là khoảng cách từ M đến bốn mặt (ABC), (OBC), (OAC) và (OAB). Gọi h1; h2; h3; h4 lần lượt là
chiều cao của các hình chóp tam giác O.ABC; A.OBC; B.OAC và C.OAB.
Chứng minh tổng
4
4
3
3
2
2
1
1
h
x
h
x
h
x
h
x  là một hằng số.
2) Các tia OA, OB, OC đôi một hợp với nhau một góc 600. OA = a. Góc BAC bằng 900.
Đặt OB+OC = m. (m >0, a > 0). Chứng minh m > 2a. Tính thể tích khối tứ diện OABC theo m và a.
Bài 4.(1,5 điểm)
Cho dãy số u0, u1, u2, , un thỏa các điều kiện sau:
2
110
1
,
2
1
  kkk u
n
uuu ( k = 1, 2, 3, , n)
Chứng minh: 111  nu
n
Bài 5. (2 điểm)
1) Tìm GTNN của hàm số:
5
8
5
4
2
1104
2
1
5
32
5
16
2
12
2
1 2222  xxxxxxxy
2) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu
CABCAB )..( + ABCABC )..( + BCABCA )..( = 0
UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2006-2007
Ngày thi: 08/12/2006
Môn: TOÁN – Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1.
Giải phương trình:  3262 )1(8135 xxx 
Câu 2.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn và hai đường chéo vuông góc với nhau tại I; J là đỉnh
thứ tư của hình chữ nhật IBJC.
Chứng minh: IJ vuông góc với AD
Câu 3.
Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (S). Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Các đường
thẳng GA, GB, GC, GD lần lượt cắt mặt cầu (S) tại các điểm thứ hai A’, B’, C’, D’.
Chứng minh:
'''' DCBAABCD VV 
Câu 4.
Xác định các giá trị m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thỏa: 3||1  x
04)1log(.)1(2)1(log)1( 22222  mxxmxx
Câu 5.
Giải bất phương trình:
x
x










 
7
cos2
1
7
cos213
7
cos4 2 

Câu 6.
Cho x, y là hai số thực dương thỏa 233  yx . Chứng minh: 222  yx
Câu 7.
Cho hệ phương trình:




086
0852)12(
22 yxyx
mmyxm
Xác định m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (x1; y1), (x2; y2) sao cho biểu thức
2
22
2
11 )()( yxyxE  đạt giá trị lớn nhất.
UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2007-2008
Ngày thi: 14/11/2007
Môn: TOÁN – Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1 (3.0 điểm)
Giải hệ phương trình:





13
2
1
)1()1( 2
2
2
2
yxxy
x
y
y
x
Câu 2 (3.0 điểm)
Cho A, B, C là ba góc của một tam giác, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
)2cos3)(2cos3)(2cos3(
8
1 CCAM 
Câu 3 (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, H là trực tâm của tam giác đó. Gọi D là trung điểm
của cạnh BC. Các đường tròng đường kính BC và AD cắt nhau tại E và F. Chứng minh ba điểm E,
H, F thẳng hàng.
Câu 4 (3.0 điểm)
Cho phương trình: axx
x
x 
 12
12
13 2
 (a là tham số). Tìm a để phương trình đã cho
có nghiệm duy nhất.
Câu 5 (3.0 điểm)
Giả sử đa thức: p(x) = x5 + x2 + 1 có năm nghiệm phân biệt r1, r2, , r5. Đặt: q(x) = x2 – 2 .
Hãy tính tích: q(r1).q(r2)q(r5).
Câu 6 (3.0 điểm)
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a2 + 2b2 = 1.
Chứng minh 334 222  ba
b
b
a
Câu 7 (2.0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD, AB > BC. M là một điểm bất kỳ trên
đường thẳng BD. Chứng minh:
BC
BA
MC
MA
DC
DA 
UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2008-2009
Ngày thi: 25/11/2008
Môn: TOÁN – Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1 (3.0 điểm)
Tìm các cặp số x, y với 


2
;
2

x , 


2
;
2
y thỏa mãn hệ phương trình sau





33
2
112
tantan
y
x
xyyx
Câu 2 (3.0 điểm)
Tìm số k bé nhất để bất phương trình sau luôn luôn đúng
02)1)(1(2 242  kxxkxx
Câu 3 (3.0 điểm)
Tồn tại hay không đa thức P(x) với các hệ số nguyên thỏa P(25) = 1945 và P(11)=2008.
Câu 4 (3.0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Đường thẳng qua C cắt các tia đối của tia
BA, Da lần lượt tại M, N. Chứng minh:
24 


AC
BD
S
S
AMN
BCD
Câu 5 (3.0 điểm)
Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
)1()257(
3
1
8
2
1
1







n
uuu
u
nnn
Đặt 
 
n
k k
n
u
v
1 2
1
 với n = 1, 2, 3, 
Tính n
n
vlim
Câu 6 (3.0 điểm)
Giả sử phương trình 01234  axbxaxx có nghiệm.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b2
Câu 7 (2.0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
32022 326  yxyx