Đề thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh lớp 12 THPT năm học 2004 - 2005 môn Toán (vòng 1)

 UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ kú thi chän hoc sinh giái tØnh 
 Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o líp 12 thPT n¨m häc 2004 - 2005 
 M«n : TO¸N (vßng 1) 
 §Ò chÝnh thøc Thêi gian: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 
 ................................................................................................................................................. 
 BµI 1: 
 T×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh : 02sin1.2cossincos =+−− xxxx 
tháa ®iÒu kiÖn : 2004 < x < 2005 . 
 BµI 2: 
 Trong mÆt ph¼ng (P), cho tam gi¸c vu«ng ABC cè ®Þnh cã AB = AC. T×m 
tËp hîp nh÷ng ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng (P) sao cho : 
 MCMBMCMBMA −−+≤4 
 BµI 3: 
a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè : 22
2
)2(
2
+
+=
x
xxy . 
b) T×m sè thùc k nhá nhÊt sao cho víi mäi sè thùc a, b lu«n cã : 
a + b + ab ≤ k(a2 + 2)(b2 + 2) . 
 ------------- HÕt --------------- 
 UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ kú thi chän hoc sinh giái tØnh 
 Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o líp 12 thPT n¨m häc 2004 - 2005 
 M«n : TO¸n (vßng 2) 
 §Ò chÝnh thøc Thêi gian: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 
 ................................................................................................................................................ 
 BµI 1: 
a) Cho hµm sè 
( )ln sin cos
( )
sin 2
x x x
g x
x
−=
( )
( )
0 0
g x khi x
f x
khi x
 cã tËp x¸c ®Þnh lµ D. TÝnh ®¹o hµm 
cña hµm sè : 
D∈=  = 
b) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : 
3
)1ln()( 23 xx exxxe ≤+−+ 
 BµI 2: 
 XÐt hai ®é dµi kh¸c nhau a, b. T×m ®iÒu kiÖn cña a, b ®Ó tån t¹i tø diÖn 
(T) cã mét c¹nh b»ng a vµ c¸c c¹nh cßn l¹i ®Òu b»ng b. Víi tø diÖn (T) nµy, h·y 
x¸c ®Þnh mÆt ph¼ng (α ) sao cho thiÕt diÖn cña mÆt ph¼ng (α ) vµ tø diÖn (T) lµ 
mét h×nh vu«ng (V). TÝnh diÖn tÝch cña h×nh vu«ng (V) theo a vµ b. 
 BµI 3: 
 Chøng minh r»ng tån t¹i mét tËp con E cña tËp c¸c sè tù nhiªn N tháa m·n 
®ång thêi hai ®iÒu kiÖn sau : 
a) E cã 2005 phÇn tö . 
b) Víi bÊt k× cÆp sè nguyªn ph©n biÖt k, h cña E th× tÝch k.h chia hÕt cho 
(k-h)2. 
 ------------ HÕt -------------- 
§¸p ¸n - Thang ®iÓm vßng 1 
Bµi Néi dung §iÓm
 1 
....... 
2 
02sin1.2cossincos =+−− xxxx (*) 
+ x2sin1+ = xx sincos + 
 cos2x = ( xcos - xsin ).( xcos + xsin ) 
+ (*) (⇔ xcos - xsin ).{1 - ( xcos + xsin ) xx sincos + } = 0 
 ⇔ xcos - xsin =0 (1) hoaëc ( xcos + xsin ) xx sincos + = 1 (2) 
+ (1) cos2x= 0 ⇔
+ (2) (1+⇔ x2sin ).(1+sin2x) = 1⇔ sin2x=0 (vì sin2x >0 khoâng theå xaûy ra ) 
Töø ñoù : (*) cos2x= 0 hoaëc sin2x= 0⇔ ⇔ sin4x= 0 ⇔ x =k
4
π ; k ∈Z 
+ Vôùi ñieàu kieän 2004< x <2005 , choïn soá nguyeân k=2552. Vaäy : x = 638π . 
..................................................................................................................................... 
+ MB +MC - MB-MC = 2 Min (MB; MC) 
 4MA ≤ MB +MC - MB-MC ⇔ 2MA≤MB vaø 2MA≤MC 
+ Chän hÖ trôc Axy vµ ®¬n vÞ trªn trôc sao cho : B(3;0) ,C(0;3) . Gäi M(x;y) 
2MA≤MB ⇔ 4MA2 –MB2≤ 0 4(x⇔ 2+y2) – (x-3) 2 –y2 ≤ 0 ⇔ (x+1) 2 +y2 ≤ 4 
 VËy : 2MA MB M ë trong h×nh trßn (T) t©m I(-1;0),b¸n kÝnh 2. (kÓ c¶ 
biªn) 
≤ ⇔
T−¬ng tù : 2MA MC M ë trong h×nh trßn (S) t©m J(0;-1),b¸n kÝnh 2. (kÓ c¶ 
biªn) 
≤ ⇔
+TËp hîp nh÷ng ®iÓn M tho¶ bµi to¸n lµ phÇn giao cña hai h×nh trßn (T) vµ (S) . 
(kÓ c¶ biªn) 
 6 
......... 
 6 
y
3 a 
....... 
3 b 
-5 5 10
6
4
2
-2
-4
-6
y
I
J
M
A
C
B
22
2
)2(
2
+
+=
x
xxy 
+ Taäp xaùc ñònh : R 
+ y’ = 32
23
)2(
)223(2
+
−−+−
x
xxx
 =
2
2 3
2( 1)( 4 2)
( 2)
x x x
x
− − + +
+ 
+ y’= 0 x=1 ; x= ⇔ 22 ±− ; 
 y(1)= 3
1
 ; y( 22 −− )= 16
12 −
 ; y( 22 +− )= 16
12 +− ; 0lim =∞±yx 
 x - -2-∞ 2 -2+ 2 1 +∞ 
 y ' + 0 - 0 + 0 - 
 y 
16
12 − 
3
1 
 0 
16
12 +− 0 
 + Vaäy : 
1
3R
Ma x y = ; Miny= 2 116RMin y
+− 
........................................................................................................................................ 
+ Gi¶ sö k lµ sè tho¶ bµi to¸n. Lóc ®ã : k
ba
abba ≤++
++
)2)(2( 22
 ®óng víi mäi a,b 
 Víi a=b=1 ,ta cã k 
3
1≥ . 
4 
..........
 4 
x 
+Ta sÏ chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau ®óng víi mäi a,b : a+b+ab≤ 
3
1
(a2+2)(b2+2). 
 Ta cã : (a2+2)(b2+2)- 3(a+b+ab) = a2b2+2a2+2b2+4-3a-3b-3ab 
 = (ab-1) 2+
2
1
 (a-b) 2+
2
3
 [(a-1) 2+(b-1) 2] 0 ≥
+Tõ ®ã sè k nhá nhÊt tho¶ bµi to¸n lµ : 
3
1 . 
 §¸P ¸N - THANG §IÓM (Vßng 2) 
Bµi Néi dung §iÓm
 1.a) 
........ 
1.b) 
....... 
2 
 + Khi vµ 0x D x∈ ⇔ ≠ ,
4
x k kπ π≠ + ∈Z vµ *,
2
x k kπ≠ ∈Z : 
 2
ln(1 sin 2 ) (sin 2 2 cos 2 ) ln(1 sin 2 ) cot 2( ) '( )
2sin 2 2sin 2 1 sin 2
x x x x x x xf x f x g x
x x x
− − −= ⇒ = − − 
+ Khi x = 0 : 
( )
0 0
ln 1 sin 2( ) (0) 1lim lim '(0)
2( sin 2 ) 2x x
xf x f f
x x→ →
−− = − = − =− . 
...................................................................................................................................... 
3
)1ln()( 23 xx exxxe ≤+−+ (*) 
+ BiÜu thøc ln(x2+1) lu«n x¸c ®Þnh . 
+ x=0 ; x=1 ; x=-1 lµ c¸c gi¸ trÞ tho¶ bÊt ph−¬ng tr×nh . 
 -x= (3x 3 xx − ). )( 3 232 xxxx ++ 
+Khi x∉{0;1;-1} th× x≠ 3 x .Theo ®Þnh lÝ Lagrange ,tån t¹i sè c ë gi÷a x vµ 3 x 
sao cho: e - x
3 xe = ( 3 xx − ) e c
VËy: (*) (⇔ 3 xx − ).[ e + c )3 232 xxxx ++( ln(x2+1)]≤ 0 
 ⇔ 3 xx − ≤ 0 ( V× [ + ce )( 3 232 xxxx ++ ln(x2+1)]> 0 ) 
 -x 0 . ⇔ 3x ≤
+ Nghi−m c®a bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho lµ : x ]1;0[]1;( ∪−−∞∈ . 
 ....................................................................................................................................... 
§iÞu ki−n c®a a,b : 
+Gi¶ s− tø di−n (T) tån t¹i .Gäi AB lµ c¹nh b»ng a, c¸c c¹nh : AC,AD,BC,BD CD ®Þu 
cïng b»ng b . Gäi I lµ trung ®iÜm c¹nh CD.Tam gi¸c AIB lµ tam gi¸c c©n : 
 AB=a ;AI=BI= 2
3b
. Tõ AB<AI+BI suy ra : 3ba <<0 
+Ng−þc l¹i vÝi : 3ba <<0 .Dùng tam gi¸c ®Þu BCD c¹nh b vÝiù chiÞu cao BI. 
Dùng tam gi¸c c©n AIB cã AB=a ,n»m trong mØt ph¼ng chøa BI vµ vu«ng gãc vãi 
mp(BCD) Ta cã :A∉ mp(BCD) Tø di−n ABCD tho¶ ®iÞu ki−n bµi to¸n
3 
......... 
4 
......... 
 7 
........ 
3 
mp(BCD) .Ta cã :A∉ mp(BCD) .Tø di−n ABCD tho¶ ®iÞu ki−n bµi to¸n . 
Q
P
M
N
a
I
D
C
B
A
X¸c ®Þnh mØt ph¼ng (α ): 
+ Gi¶ s− thiÕt di−n lµ h×nh vu«ng MNPQ. C¸c mØt c®a tø di−n (T) lÇn l−þt chøa c¸c 
®o¹n giao tuyÕn MN,NP,PQ,QM ®−þc gäi tªn lµ mØt I, mØt II, mØt III, mØt IV. 
Do MN//PQ;MQ//NP nªn c¹nh chung c®a mØt I vµ mØt III; c¹nh chung c®a mØt IIvµ 
mØt IV ,n»m trªn hai ®−êng th¼ng song song vÝi mp(α ). 
Ngoµi ra, hai ®−êng th¼ng nµy vu«ng gãc nhau,v× MN vu«ng gãc MQ. 
+ Do a kh¸c b nªn tø di−n (T) chØ cã mét cØp c¹nh ®èi vu«ng gãc,®ã lµ AB vµ CD . 
V× vËy mp(α ) ph¶i song song vÝi AB vµ CD. 
+ Gäi giao ®iÜm c®a mp(α ) vÝi AC,BC,BD,AD,lÇn l−þt lµ M,N,P,Q. §Øt k = MC
MA
 . 
Ta cã :MN=
k
a
+1 ;MQ= k
kb
+1 . Tõ MN=MQ ta cã : k = b
a
. 
+ Di−ân tÝch c®a h×nh vu«ng MNPQ lµ : 2)(
ba
ab
+ 
........................................................................................................................................ 
+ Ta x©y dùng c¸c tËp En cã n phÇn tö tháa tÝnh chÊt : 
“Víi bÊt k× cÆp sè nguyªn ph©n biÖt k ,h cña En th× tÝch k.h chia hÕt cho (k-h)2 “ 
b»ng ph−¬ng ph¸p qui n¹p theo n (n > 1) 
+ Chän : E2 ={1;2} 
+ Gi¶ sö tËp En ={a1 ; a2 ;.......;an } víi n >1 , tháa tÝnh chÊt trªn . 
XÐt tËp : En+1= F∪ {m} víi m= a1.a2 ......an vµ F = {ai+ m/ i=1,2,....,n } 
En+1 cã n+1 phÇn tö . Ta chøng minh En+1 tho¶ tÝnh chÊt trªn . 
Víi k ,h lµ hai phÇn tö ph©n biÖt cña En+1 ,th× cã hai kh¶ n¨ng : 
i/ChØ mét phÇn tö thuéc F ii/C¶ hai ®Òu thuéc F 
Tr−êng hîp i/ : k= ai+ m , h = m= a1.a2 ......an 
Ta cã : h chia hÕt cho ai ; k chia hÕt cho ai ; k.h chia hÕt cho :ai .ai cßn (k-h)2 = 
ai2 
Tr−êng hîp ii/: k= ai+ m , h= aj+ m ; ai vµ aj thuéc En vµ kh¸c nhau. 
Ta cã :k chia hÕt cho ai ;h chia hÕt cho aj ;k.h chia hÕt cho :ai.aj cßn (k-h)
2 =(ai -aj)2 
Nh−ng ai vµ aj thuéc En nªn tÝch ai.aj chia hÕt cho (ai -aj)2 . 
Tõ ®ã tÝch k.h chia hÕt cho (k-h)2 . 
.........
6 
 Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006 
 §Ò thi chÝnh thøc 
 Moân : TOAÙN ( Voøng 1) 
 Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà 
 ........... ........................................................................................................................................... 
 BAØI 1: 
 Goïi (C) laø ñoà thò haøm soá :y = x3 – 2005x. M1 laø ñieåm treân (C) coù hoaønh ñoä x1=1. 
 Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M1 caét (C) theâm moät ñieåm M2 khaùc M1. 
 Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M2 caét (C) theâm moät ñieåm M3 khaùc M2, 
 Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm Mn-1 caét (C) theâm moät ñieåm Mn khaùc Mn-1.(n =3,4,...) 
 Goïi (xn;yn) laø toïa ñoä cuûa ñieåm Mn . Tìm n ñeå ñaúng thöùc sau ñuùng : 
 2005xn + yn + 22007 = 0 
 BAØI 2: 
 Cho hình vuoâng EFGH .Goïi (T) laø ñöôøng troøn qua caùc trung ñieåm caùc caïnh cuûa 
 tam giaùc EFG. Nhaän xeùt: Ñieåm H thoaû maõn ñoàng thôøi hai tính chaát sau : 
 a/ Caùc hình chieáu vuoâng goùc cuûa noù laàn löôït leân caùc ñöôøng thaúng : EF ,FG, GE 
 naèm treân moät ñöôøng thaúng d. 
 b/ Ñöôøng thaúng d tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (T) . 
 Haõy tìm taäp hôïp taát caû caùc ñieåm N cuûa maët phaúng chöùa hình vuoâng EFGH sao 
 cho N thoaû maõn ñoàng thôøi hai tính chaát a/ vaø b/ ôû treân . 
 BAØI 3: 
 Goïi R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn ngoïai tieáp cuûa tam giaùc ABC 
 Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC khoâng coù caïnh naøo ngaén hôn baùn kính R 
 vaø coù dieän tích nhoû hôn hoaëc baèng 
2
32R thì : sinA + sinB + sinC ≤
2
33 + . 
 ------------- Heát --------------- 
 Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006 
 §Ò thi chÝnh thøc 
 Moân : TOAÙN ( Voøng 2) 
 Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà 
 ........... ........................................................................................................................................... 
 BAØI 1: 
 Vôùi moãi soá thöïc a, kí hieäu [a] chæ soá nguyeân k lôùn nhaát maø k a . ≤
 Giaûi phöông trình : [lg x ] + x + [
6
x ] = [
2
x ] + [
3
2x ] 
 BAØI 2: 
 Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD,coù ñaùy ABCD laø moät hình bình haønh . 
 Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc SAC. M laø moät ñieåm thay ñoåi trong mieàn hình 
 bình haønh ABCD .Tia MG caét maët beân cuûa hình choùp S.ABCD taïi ñieåm N . 
 Ñaët : Q = 
MG
NG
NG
MG + 
 1/ Tìm taát caû caùc vò trí cuûa ñieåm M sao cho Q ñaït giaù trò nhoû nhaát . 
 2/ Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa Q . 
 BAØI 3: 
 Vôùi moãi soá nguyeân döông n ,haõy tìm taát caû caùc ña thöùc P(x) thoaû maõn ñoàng thôøi 
 hai ñieàu kieän sau : 
 a/ Caùc heä soá cuûa P(x) khaùc nhau ñoâi moät vaø ñeàu thuoäc taäp {0;1;.....;n}. 
 b/ P(x) coù n nghieäm thöïc phaân bieät . 
 ------------ Heát -------------- 
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006 
 §Ò thi chÝnh thøc 
 Moân : TOAÙN ( Voøng 1) 
 ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM 
Baøi Noäi dung Ñieåm 
 ( 6ñ) 
+ Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi Mk (xk;yk): y - yk = y’(xk)(x- xk) 
 y = (3x -2005)(x- xk)+ x -2005xk 2k
3
k
1,0 
+ Xeùt phöông trình : x3 – 2005x = (3x -2005)(x- x2k k)+ x -2005x3k k 
 ⇔ (x- xk) (x2+ xk.x-2 x ) = 0 2k ⇔ x= xk ; x = - 2xk 
+ Vaäy xk+1 = - 2xk 
1,0 
1,0 
1 
+ x1 =1 , x2 = -2 , x3 = 4 ........ , xn = (-2) n-1 n= 1,2,.......... 
+ yn = x -2005x3n n , 2005xn + yn + 2
 2007 = 0 ⇔ x = - 23n 2007 ⇔ (-2) 3n-3 = - 2 2007 
 3n-3 leû vaø 3n -3 = 2007 ⇔ ⇔ n= 670 
1,0 
2,0 
 7,0 
+ Ñieåm N thoaû tính chaát a/ khi vaø chæ khi N ôû treân ñöôøng troøn qua E,F,G. 
1 
2 
+ Chöùng minh: Choïn heä truïc Oxy vôùi O laø taâm hình vuoâng EFGH vaø vec tô ñôn vò 
treân truïc : OGi =
ρ
 ; OFj = . Ta coù E(-1;0) , F(0;1) , G(1;0) . 
Phöông trình cuûa EF : x –y + 1 = 0 ; FG : x + y -1 = 0 ,ñöôøng troøn(EFG): x
2
+y
2
=1 
Goïi N(X;Y). Toaï ñoä caùc hình chieáu cuûa N leân EG, EF, FG laàn löôït laø: 
N1 (X;0) , N2 ( 2
1
(X+Y-1); 2
1
(X+Y+1)) , N3 ( 2
1
(X-Y+1); 2
1
(-X+Y+1)) 
))1(
2
1);1(
2
1(21 ++−+−= YXYXNN );1(32 XYNN −−= 
N1, N2 , N3 thaúng haøng khi vaø chæ khi:(-X+Y-1)(-X)-(1-Y)(X+Y+1)=0 X
2
+Y
2
=1(1) ⇔
2,0 
+ Tìm theâm ñieàu kieän ñeå N thoaû tính chaát b/. Chæ caàn xeùt N(X;Y) khaùc F(0;1). 
 Vôùi ñieàu kieän (1) ,döôøng thaúng d coù phöông trình : X(x-X) +(1-Y)(y-0)=0 
 Taâm cuûa (T) laø I(0; 2
1
) . Baùn kính cuûa (T) : 2
1
+ d tieáp xuùc (T) khi vaø chæ khi : 2
1
)1(
)
2
1)(1()0(
22
=
−+
−+−
YX
YXX
 (2) ⇔ 12)12( 2222 +−+=−+ YYXYX
2,0 
+ Giaûi heä (1) vaø(2). Ruùt X
2
 töø (1) thay vaøo (2): 
(2Y
2
-Y-1)
2
=2(1-Y)⇔ (Y-1)2(2Y+1) 2 =2(1-Y).Ñang xeùt Y≠ 1 neân :(Y-1)(2Y+1)2= -2 
⇔ 4Y3-3Y+1= 0⇔ (Y+1)(4Y2-4Y+1) = 0 ⇔ Y= -1 ; Y=
2
1 . 
1,0 
+ Vôùi Y=-1 ta coù ñieåm N(0;-1), ñoù laø H . 
 Vôùi Y= 2
1
, ta coù theâm hai ñieåm N : ( 2
3
; 2
1
) vaø (- 2
3
; 2
1
) . 
Taäp hôïp phaûi tìm laø ba ñænh cuûa tam giaùc ñeàu noäi tieáp trong ñöôøng troøn (EFGH) maø 
moät ñænh laø H 
1,0 
 7,0 
+ Tam giaùc coù : A = 900, B=600, C=300 thì coù daáu ñaúng thöùc . 
+ Coù theå giaû söû : sinA≥ sinB≥ sinC . 
Ta chöùng minh : sinA+sinB+sinC≤ u+v+w vôùi u =1 , v =
2
3 , w =
2
1 . 
1,0 
1,0 
+ S=
R
abc
4
=2R2sinAsinBsinC 
+ S≤
2
32R ⇔ sinAsinBsinC ≤
4
3 ⇒ sinAsinBsinC ≤uvw .(1) 
1,0 
1,0 
+ sinC= R
R
R
c
22
≥ =
2
1 vaø sinAsinB ≤
4
3
Csin
1 ⇒ sinAsinB≤
2
3 ⇒ sinAsinB uv.(2) ≤
 sinA 1⇒ sinA≤ ≤u .(3) 
1,0 
3 
+ Ta coù : 
u+v+w = sinC(
A
u
sin
+
B
v
sin
+
C
w
sin
)+(sinB-sinC)( 
A
u
sin
+
B
v
sin
)+(sinA-sinB)
A
u
sin
Suy ra: 
 u+v+w ≥ sinC(3 3 ) +(sinB-sinC)(2
sinsinsin CBA
uvw
BA
uv
sinsin
) + (sinA-sinB)
A
u
sin
Do (1) ,(2) ,(3) neân : u+v+w 3sinC +2(sinB-sinC)+ (sinA-sinB) = sinA+sinB+sinC. 
Daáu ñaúng thöùc xaûy ra trong tröôøng hôïp tam giaùc ABC laø nöûa tam giaùc ñeàu . 
≥
2,0 
 Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006 
 §Ò thi chÝnh thøc 
 Moân : TOAÙN ( Voøng 2) 
 ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM 
Baøi Noäi dung Ñieåm
 6,0 
+ Bieåu thöùc lgx xaùc ñònh khi x > 0. 
+ Neáu x laø nghieäm thì : x = [
2
x ] + [
3
2x ]- [
6
x ] - [lg x ] neân x laø soá nguyeân döông. 
1,0 
1,0 
+ Ñaët x = 6q + r ,vôùi q vaø r laø caùc soá töï nhieân , 0≤ r≤ 5 . 
 [
2
x ] + [
3
2x ] - [
6
x ] = [ 3q +
2
r ]+ [4q+
3
2r ] – [q+
6
r ]= 6q + [
2
r ]+ [
3
2r ]- [
6
r ] 
Phöông trình trôû thaønh : 6q + r = 6q +[
2
r ]+[
3
2r ]-[
6
r ] -[lg x ] 
 [lg⇔ x ]= [ 2
r ]+ [
3
2r ]- [
6
r ] - r vôùi r∈{0;1;2;3;4;5} 
2,0 
1 
+ Ta coù : [
2
r ]+[
3
2r ]-[
6
r ]-r = 

=
=−
5;4;3;2;00
11
rkhi
rkhi
+Do x≥ 1 neân [lgx]≥ 0 .Khoâng xeùt tröôøng hôïp r=1 
Vôùi r 1,ta coù : [lgx]= 0 0 lgx < 1 ≠ ⇔ ≤ ⇔ 1≤ x < 10 . 
Ta choïn caùc soá nguyeân x thoaû 1≤ x < 10 vaø x chia cho 6 coù dö soá khaùc 1. 
Nghieäm cuûa phöông trình : x∈{2;3;4;5;6;8;9} . 
1,0 
1,0 
 7,0 2 
Caâu 1/ (Hình vẽ ở trang cuối) 
+ Q = MG
NG
NG
MG + ≥ 2 .Daáu baèng khi vaø chæ khi :
NG
MG =
MG
NG = 1 . 
+ SG caét mp(ABCD) taïi taâm O cuûa hình bình haønh ABCD. Goïi K laø trung ñieåm cuûa 
SG . Töø K döïng maët phaúng song song vôùi mp(ABCD) caét SA,SB,SC,SD laàn löôït taïi 
A1 ,B1 ,C1 ,D1 .Töø N döïng maët phaúng song song vôùi mp(ABCD) caét SG taïi N’. 
Ta coù:
MG
NG =
OG
GN ' ; 
MG
NG =1 N’truøng K⇔ ⇔ N thuoäc caïnh hình bình haønh A1B1C1D1 
Noái NK caét caïnh hình bình haønh A1B1C1D1 taïi P, ta coù : PM // SG . 
+ Töø ñoù : Q=2 khi vaø chæ khi M thuoäc caïnh hình bình haønh 
'
1
'
1
'
1
'
1 DCBA
'
1
'
1
'
1
'
1 DCBA laø hình chieáu song song cuûahình bình haønh A1B1C1D1 leân mp(ABCD) 
 theo phöông SG . 
1,0 
1,0 
1,0 
Caâu 2/ 
+Mieàn hình bình haønh ABCD hôïp bôûi caùc mieàn tam giaùc OAB,OBC,OCD,ODA 
M thuoäc mieàn hình bình haønh ABCD neân M thuoäc moät trong boán mieàn tam giaùc naøy. 
Chaúng haïn M thuoäc mieàn OAB. M∆ ≡A N⇒ ≡C’; M≡B⇒ N≡D’; M O N≡ ⇒ ≡S. 
Do ñoù N thuoäc mieàn SC’D’ vaø N’ thuoäc ñoaïn SH ,vôùi C’,D’ vaø H laàn löôït laø trung 
ñieåm cuûa SC,SD vaø SO. 
∆
Do ñoù : HG N’G ≤ SG. Vì vaäy : ≤ OG
HG ≤
OG
GN ' ≤
OG
SG
 hay 2
1 ≤
MG
NG ≤ 2. 
2,0 
+ Ñaët x = MG
NG Ta coù : Q = 
x
1 + x vôùi x ∈[
2
1 ;2]. 
 Q’= 0 vaø x ∈(
2
1 ;2) ⇔ x = 1 . MaxQ = Max{Q(
2
1 );Q(2);Q(1)}= 
2
5 . 
+ Giaù trò lôùn nhaát cuûa Q laø : 2
5
 . Ñaït khi M truøng vôùi O hoaëc caùc ñænh A,B,C,D. 
1,0 
1,0 
 7,0 
+ Ñieàu kieän a/ cho thaáy baäc cuûa P(x)≤ n ,ñieàu kieän b/ cho thaáy baäc cuûa P(x) n. ≥
Vaäy baäc cuûa P(x) laø n. P(x) = anxn + an-1xn-1 + ...........+ a1x + a0 . 
 vôùi (a0, a1, ......, an) laø moät hoaùn vò cuûa {0,1,...,n} vaø an≠ 0 . 
+ Ta coù : x > 0 P(x) > 0 .Do ñoù moïi nghieäm x⇒ i cuûa P(x) ñeàu khoâng döông . 
+ Vôùi n=1 ,ta coù ña thöùc duy nhaát thoaû baøi toaùn : P(x) = 1.x + 0 . 
1,0 
1,0 
1,0 
3 
+ Vôùi n=2 ,neáu P(x) = a2x2 +a1x + a0 thoaû baøi toaùn thì theo ñònh lí Víet : 
 x1 + x2 = -
2
1
a
a
 ; x1.x2 =
2
0
a
a
 trong ñoù :{ a0, a1, a2}={0,1,2}, a2≠ 0 
 Do x1≤ 0 , x2≤ 0 , x1≠ x2 neân , a1≠ 0 .Suy ra : a0= 0 . 
Caùc ña thöùc : P(x) = 1.x
2 + 2.x + 0 , P(x) = 2.x
2 + 1.x + 0 thoaû baøi toaùn . 
+ Vôùi n=3 ,neáu P(x) = a3x3 +a2x2 +a1x + a0 thoaû baøi toaùn thì theo ñònh lí Víet : 
 x1 + x2 + x3 = -
3
2
a
a ; x1x2 +x2x3 + x3x1 = 
3
1
a
a ; x1x2x2 = -
3
0
a
a 
trong ñoù : { a0, a1, a2 ,a3}={0,1,2, 3}, a3≠ 0 
 Do x1≤ 0 , x2≤ 0 ,x3≤ 0, x1≠ x2 x1≠ x3 x2≠ x3 neân a1≠ 0 vaø a2≠ 0 . Suy ra: a0= 0 . 
Ta coù :P(x)= a3x3 +a2x2 +a1x= x(a3x2 +a2x +a1) ;{ a1, a2 ,a3}={1,2, 3}, a 04 13
2
2 >− aa
Caùc ña thöùc : P(x)=1.x3+3.x2+2.x+0 , P(x)=2x3+3x2+1.x+0 thoaû baøi toaùn . 
1,0 
1,0 
 + Vôùi n>3,neáu P(x) = anxn + an-1xn-1 + ...........+ a1x + a0 thoaû baøi toaùn thì theo ñònh lí 
Víet : 







−=
−=+++
−=+++
−
−−
−
n
n
n
n
n
nnnn
n
n
n
a
a
xxx
a
axxxxxxxxx
a
a
xxx
0
21
11
2132121
1
21
)1(......
)1(.....................
.............................
...
 vôùi (a0, a1, ......,an) laø moät hoaùn vò cuûa {0,1,...,n} vaø an≠ 0 
Do caùc xi khoâng döông vaø khaùc nhau ñoâi moät neân phaûi coù a0= 0 . 
Vaäy P(x) coù moät nghieäm baèng 0 vaø n-1 nghieäm coøn laïi khaùc nhau ñoâi moät vaø ñeàu 
aâm. 
Coù theå giaû söû xn= 0 .Luùc ñoù x1 , x2 ,...., xn-1 laø caùc nghieäm aâm cuûa : 
Q(x)= anxn-1+ an-1xn-2 +...+ a2x +a1 vôùi (a1,a2,..., an) laø moät hoaùn vò cuûa{1,2,...,n},an≠ 0 
Ñaët ui = - xi (i=1,2,.....,n-1) .Ta coù ui > 0 vaø : 
 u1+ u2+....+ un-1= 
n
n
a
a 1− (1) ; u1u2...un-2+ u2u3... un-1+ ......+ un-1u1... un-3 = 
na
a2 (2) 
u1u2....un-1 = 
na
a1 (3) . Töø (2) vaø (3) cho :
1
1
u
 +
2
1
u
 +.....+
1
1
−nu
 = 
1
2
a
a
 (4) 
Theo baát ñaúng thöùc Coâsi : (u1+ u2+.........+ un-1)( 
1
1
u
 +
2
1
u
 +.....+
1
1
−nu
)≥ (n-1) 2 
Duøng (1) vaø (4) suy ra : 
n
n
a
a 1− .
1
2
a
a ≥ (n-1) 2 .Nhöng 
n
n
a
a 1− .
1
2
a
a
 ≤ 
2.1
)1( −nn neân : 
 (n-1) 2 ≤
2.1
)1( −nn n 2 , maâu thuaån vôùi n > 3 . ⇒ ≤
Caùc ña thöùc thoaû baøi toaùn : 
P(x) = x , P(x) = x
2 + 2x , P(x) = 2x
2 + x , P(x) = x3+3x2+2x , P(x) = 2x3+3x2+x . 
2,0 
D'
C'
H
G
N'N
M
O
D
C B
A
s
 Hình vẽ baøi 2 
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2006-2007 
 §Ò thi chÝnh thøc 
 Moân : TOAÙN ( Voøng 1) 
 Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt 
 BAØI 1:(5 ñieåm) 
 Vôùi caùc tham soá thöïc m, p (m ≠ 0), xeùt caùc ñoà thò : 
 (Hm ) : y = x
mx 22 − vaø (Cp) : . 3 (2 1)y x p x= − −
 a/ Tìm ñieàu kieän cuûa m vaø p ñeå caùc ñoà thò (Hm ) vaø(Cp) tieáp xuùc nhau . 
 b/ Chöùng toû raèng khi caùc ñoà thò (Hm ) vaø(Cp) tieáp xuùc nhau thì tieáp ñieåm cuûa chuùng 
naèm treân ñoà thò : y = x - x3 
 BAØI 2:(3 ñieåm) 
 Chöùng minh raèng tam giaùc ABC coù ít nhaát moät goùc baèng 450 khi vaø chæ khi : 
 2(sinA.sinB.sinC - cosA.cosB.cosC) = 1 . 
 BAØI 3 :(6 ñieåm) 
 Treân maët phaúng, xeùt moät hình vuoâng ABCD vaø moät tam giaùc ñeàu EFG caét nhau taïo 
thaønh moät thaát giaùc loài MBNPQRS ôû hình döôùi 
S
G
Q
R
E
D CP
N
F
BMA
 a/ Chöùng minh raèng : “ Neáu SM = NP = QR thì MB = PQ vaø BN = RS ”. 
 b/ Chöùng minh raèng : “ Neáu MB = PQ vaø BN = RS thì SM = NP = QR ” . 
 BAØI 4:(6 ñieåm) 
 Xeùt caùc soá thöïc thay ñoåi x,y thoûa ñieàu kieän : x2 - xy + y2 = 3 . 
 a/ Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa T = x2y - xy2 . 
 b/ Tìm taát caû caùc caëp (x; y) ñeå T ñaït giaù trò nhoû nhaát . 
 ------------- Heát --------------- 
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2006-2007 
 §Ò thi chÝnh thøc 
 Moân : TOAÙN ( Voøng 1) 
 ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM 
BAØI 1 NOÄI DUNG ÑIEÅM
(Hm ) vaø(Cp) tieáp xuùc nhau khi vaø chæ khi heä sau coù nghieäm: 



−−=+
−−=−
)12(31
)12(
2
2
2
3
22
px
x
m
xpx
x
mx
1 
⇔ ( x 


−−=+
−−=−
2422
2422
)12(3
)12(
xpxmx
xpxmx ≠ 0 ) 0,5 
⇔


=
=
22
24
pxm
mx
 . Vôùi m≠ 0 thì x≠ 0 . 0,5 
⇔


=
=
mpm
mx
2
2
 (m≠ 0 ) 0,5 
Caâu a 
(3ñ) 
Ñieàu kieän ñeå (Hm ) vaø(Cp) tieáp xuùc nhau : p = m (m≠ 0 ) . 0,5 
Toïa ñoä cuûa tieáp ñieåm thoûa : x4 = m2 vaø y =
x
mx 22 − (m 0 ) ≠ 1 Caâu b (2ñ) 
Do ñoù : y =
x
xx 42 − = x - x3. Tieáp ñieåm ôû treân ñoà thò: y = x - x3 1 
BAØI 2 NOÄI DUNG ÑIEÅM
Cho tam giaùc ABC coù goùc baèng450 chöùng toû: 
2(sinA.sinB.sinC - cosA.cosB.cosC) = 1 (1) 
Chaúng haïn A= 450,veá traùi cuûa (1) baèng : 
2 (sinB.sinC-cosB.cosC)= - 2 cos(B+C)= 2 cosA=1 
1 
Giaû söû (1) ñuùng .Ta co:ù 
(1) sinA[cos(B-C) -cos(B+C)] -cosA[cos(B-C) +cos(B+C)] = 1 ⇔
⇔ cos(B-C)[sinA-cosA]+sinAcosA +cos2A = 1 
⇔ (sinA-cosA)[cos(B-C) -sinA] = 0 
⇔ 2 sin(A-450)[cos(B-C) -cos(900-(B+C))] = 0 
⇔ sin(A-450)sin(B-450)sin(C-450) = 0 (2) 
1,5 
(3ñ) 
Do A,B,C laø goùc tam giaùc neân töø (2) suy ra tam giaùc ABC coù goùc 
baèng 450 
0,5 
BAØI 3 NOÄI DUNG ÑIEÅM
Choïn heä truïc Axy nhö hình veõ : 
Goïi a laø caïnh hình vuoâng ABCD . 
 A(0,0) , B(a,0), C(a,a), D(0,a) 
M(m,0), N(a,n) ,P(p,a),Q(q,a),R(0,r), S(0,s). 
 MB= a-m; PQ= p-q; BN= n ; RS= r-s 
1 
Neáu SM = NP = QR keát hôïp vôùi EF = FG = GE ,ta coù: SM = kEF ; 
NP = kFG ;QR = kGE vôùi k =
EF
SM . 
Nhöng : EF +FG +GE =O neân : SM + NP +QR =O 
1 
Caâu a 
(3ñ) 
Do SM + NP +QR = (m+p-a-q; -s -n +r ) neân: m+p-a-q = 0 ; 
 -s -n +r = 0. Hay a-m = p-q vaø n = r-s ,töùc laø :MB = PQ vaø BN = RS. 
1 
Neáu MB = PQ vaø BN = RS thì MB +PQ=O , BN + RS =O 0,5 
Keát hôïp vôùi SM +MB +BN + NP +PQ+QR + RS =O , 
 ta coù: SM + NP +QR =O . 
0,5 
Nhöng : SM = xEF ; NP = yFG ;QR = zGE 
vôùi x = 
EF
SM ; y = 
FG
NP ; z = 
GE
QR 
neân : xEF + yFG +zGE = O 
1 
 (x-z)⇔ EF = (z-y)FG ⇔ x-z = 0 vaø z-y = 0 (vìEF vaøFG khoâng 
cuøng phöông ). 
0,5 
Caâu b 
(3ñ) 
Töø x = y = z vaø EF = FG = GE suy ra : SM = NP = QR. 0,5 
BAØI 4 NOÄI DUNG ÑIEÅM
x2 - xy + y2 = 3 ⇒ x2 + y2 = xy+ 3. 
T = x2y - xy2 = xy(x-y) 
⇒ T2 = (xy)2(x2 + y2 - 2xy) = t2(t+3-2t) = 3t2 - t3 vôùi t = xy. 
1 
Do x2 + y2 = xy+ 3 vaø x2 + y2 ≥ 2 xy neân t+3 2≥ t . Vì vaäy t ∈[ -1 ; 3] 0,5 
Caâu a 
(3,5ñ) 
Giaù trò lôùn nhaát cuûa f(t) = 3t2 -t3 treân ñoïan [ -1 ; 3] laø 
 Max{f(-1); f(3), f(0), f(2)} = 4 
(do : f’(t) = 6t-3t2 = 3t(2-t); f(-1) = 4 = f(2); f(3) = 0 = f(0) ) . 
Vaäy: T2 4 . ≤
1 
x
y
A M
B
F
N
P CD
E
R
Q
G
S
T2 4 -2 T≤ 2. Vôùi x = -1, y=1 thì x≤ ⇔ ≤ 2 - xy + y2 = 3 vaø T=2. 
Vaäy giaù trò lôùn nhaát cuûa T laø 2 . 
1 
 T ≥ -2 ; T = -2 trong caùc tröøông hôïp sau : 
 (I) (II) 



=+−
−=
−=−
3
1
2
22
22
yxyx
xy
xyyx



=+−
=
−=−
3
2
2
22
22
yxyx
xy
xyyx
1 
Giaûi heä (I) : x =1; y= -1 . 0,5 
Giaûi heä (II) : x = -2; y= -1 hay x = 1; y= 2 . 0,5 
Caâu b 
(2,5ñ) 
T ñaït giaù trò nhoû nhaát trong tröôøng hôïp : 
(x,y) ∈ (1; -1) , (1; 2) , (-2; -1) { } 0,5 
 Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh 
 Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2006-2007 
 §Ò thi chÝnh thøc 
 Moân : TOAÙN ( Voøng 2) 
 Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt 
 BAØI 1: (3 ñieåm) 
 Giaûi heä phöông trình : 


+−+=−
=++−−+
)2ln()2ln(
3
023756 22
yxyx
yxxyyx 
 BAØI 2: (6 ñieåm) 
 Cho laêng truï töù giaùc (L) tuøy y. Giaû söû raèng beân trong (L) coù moät hình caàu (S) baùn kính 
R tieáp xuùc vôùi taát caû caùc maët cuûa (L) . 
 a/ Goïi Sñ laø dieän tích moät maët ñaùy cuûa (L), Sxq laø toång caùc dieän tích maët beân cuûa (L). 
 Chöùng toû raèng : Sxq = 4Sñ . 
 b/ Chöùng minh raèng toång taát caû dieän tích caùc maët cuûa (L) lôùn hôn hoaëc baèng 24R2 . 
 BAØI 3:(5 ñieåm) 
 Cho daõy soá (un) xaùc ñònh bôûi : 
 vaø vôùi : 1 22; 3u u= = 3n ≥ 1 2( 2) 2n n nu nu n u n− − 4= − − − + 
 a/ Tìm ñeå n 2007nu − coù giaù trò nhoû nhaát . 
 b/ Tìm soá dö khi chia cho 2006 . 2007u
 BAØI 4:(6 ñieåm) 
 Xeùt phöông trình haøm : 
 [ ]( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 1f xy f x