Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2006 - 2007 môn: Toán

 1 
 UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh 
 Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2006 - 2007 
 Môn : Toán 
 Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút 
 Đề thi gồm 02 trang 
Bài 1: (3 điểm) 
Cho biểu thức: 
3
3
6 4 3 1 3 3 3
3 2 3 4 1 33 3 8
x x xA x
x x xx
  + +
= − −    + + +
−  
1. Rút gọn biểu thức A . 
2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. 
Bài 2: (4,0 điểm) 
Cho parabol (P): 2
1
2
y x= − và đ−ờng thẳng : 2d y x m= − + ( m là tham số). 
1. Với giá trị nào của m thì (P) và d chỉ có một điểm chung? Khi đó d gọi là 
tiếp tuyến của parabol (P), vẽ tiếp tuyến đó. 
2. Vẽ parabol (P) và đ−ờng thẳng : 2d y x m= − + trên cùng một đồ thị. Từ đồ 
thị suy ra, tập những giá trị của m để d cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ 
d−ơng. 
3. Tìm các giá trị của m để ph−ơng trình 4 24 2 0x x m− + = có 4 nghiệm phân 
biệt. Tính các nghiệm đó theo m . 
Bài 3: (3,5 điểm) 
1. Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của 
hai chữ số của nó có phân số tối giản là 
16
9
 và hiệu của số cần tìm với số có 
cùng các chữ số với nó nh−ng viết theo thứ tự ng−ợc lại bằng 27. 
2. Hãy tìm các chữ số , , ,a b c d biết rằng các số , , ,a ad cd abcd là các số chính 
ph−ơng. 
Bài 4: (4,5 điểm) 
Cho đ−ờng tròn (O; R) và đ−ờng thẳng d không đi qua O cắt đ−ờng tròn (O) 
tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đ−ờng thẳng d và ở ngoài đ−ờng 
tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đ−ờng tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). 
1. Chứng minh rằng 2 2 .MN MP MA MB= = 
2. Dựng vị trí điểm M trên đ−ờng thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình 
vuông. 
3. Chứng minh rằng tâm của đ−ờng tròn nội tiếp và tâm của đ−ờng tròn ngoại 
tiếp tam giác MNP lần l−ợt chạy trên hai đ−ờng cố định khi M di động trên 
đ−ờng thẳng d. 
 2 
Bài 5: (2,0 điểm) 
Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm (1;0), (0;2), ( 3;0)A B C − . Điểm D ở trên 
đoạn BC sao cho DA = DC. E là điểm tùy ý trên đoạn AC, đ−ờng thẳng d đi qua E 
và song song với đ−ờng thẳng AD cắt đ−ờng thẳng BA tại F. Đoạn BE cắt đoạn DA 
tại G. Chứng minh rằng 2 tia CG và CF đối xứng với nhau qua CA. 
Bài 6: (3,0 điểm) 
1) Trong các tấm bìa trình bày d−ới đây, mỗi tấm có một mặt ghi một chữ cái 
và mặt kia ghi một số: 
+ Chứng tỏ rằng để kiểm tra câu sau đây có đúng không: "Nếu mỗi tấm bìa 
mà mặt chữ cái là nguyên âm thì mặt kia là số chẵn", thì chỉ cần lật mặt sau 
của tối đa là 2 tấm bìa, đó là 2 tấm bìa nào ? 
2) Để thành lập các đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhà tr−ờng tổ chức thi chọn 
các môn Toán, Văn và Ngoại ngữ trên tổng số 111 học sinh. Kết quả có: 70 
học sinh giỏi Toán, 65 học sinh giỏi Văn và 62 học sinh giỏi Ngoại ngữ. 
Trong đó, có 49 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Toán, 32 học sinh giỏi cả 2 
môn Toán và Ngoại ngữ, 34 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Ngoại ngữ. 
Hãy xác định số học sinh giỏi cả ba môn Văn, Toán và Ngoại ngữ. Biết rằng 
có 6 học sinh không đạt yêu cầu cả ba môn. 
Hết 
A M 3 6 
 1 
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh 
 Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2006 - 2007 
 Môn : toán 
Đáp án và thang điểm: 
Bài 1 ý Nội dung Điểm 
 (2 điểm) 
1. 1.1 
(2 đ) 
3
3
6 4 3 1 3 3 3
3 2 3 4 1 33 3 8
x x xA x
x x xx
  + +
= − −    + + +
−  
Ta có: ( )23 2 3 4 3 1 3 0;1 3 0, 0x x x x x+ + = + + > + > ∀ ≥ , nên điều kiện 
để A có nghĩa là 
( ) ( )( )3 43 8 3 2 3 2 3 4 0, 0 3 2 0 3x x x x x x x− = − + + ≠ ≥ ⇔ ≠ ⇔ ≤ ≠ 
( )
( )3
3 3
1 36 4 3 3
3 2 3 4 1 33 2
xx xA x
x x xx
  ++  
= − −  + + +  −
  
( )
( ) ( ) ( )
6 4 3 2 3
3 3 1 3
3 2 3 2 3 4
x x x
A x x x
x x x
 + − −
 
= − + −
 
− + +
 
( )( ) ( )
3 4 2 3 3 2 3 1
3 2 3 2 3 4
x xA x x
x x x
 
+ + 
= − +
 
− + +
 
( )23 1
3 2
x
A
x
−
=
−
 (
40
3
x≤ ≠ ) 
0,50 
0,25 
0,50 
0,25 
0,50 
 1.2 
(1,0 
đ) 
( ) ( ) ( )2 23 1 3 2 2 3 2 1 13
3 2 3 2 3 2
x x x
A x
x x x
− − + − +
= = = +
− − −
Với x là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì 
3 3 3 9
3 2 1 3
3 13 1
x x
x x
xx
 = =
− = ± ⇔ ⇔ ⇔ = 
== 
 (vì x ∈Z và 0x ≥ ). 
Khi đó: 4A = 
0,50 
0,50 
 2 
2 
2.1 
(1,5đ) 
Ph−ơng trình cho hoành độ giao điểm của (P) và d là: 
2 21 2 4 2 0
2
x x m x x m− = − + ⇔ − + = (1) 
Ph−ơng trình (1) là ph−ơng trình bậc hai nên để (P) và d chỉ có một điểm 
chung thì ph−ơng trình (1) có nghiệm kép, t−ơng đ−ơng với: 
' 4 2 0 2m m∆ = − = ⇔ = 
Khi đó đ−ờng thẳng d là tiếp tuyến của (P) có ph−ơng trình 2 2y x= − + 
Vẽ đúng tiếp tuyến 
0,25 
0,50 
0,25 
0,25 
0,25 
 2.2 
(1,25 đ) 
+ Vẽ đúng (P) 
+ Đ−ờng thẳng : 2d y x m= − + song 
song với đ−ờng thẳng 2 2y x= − + và cắt 
trục Oy tại điểm B(0; m). 
+ Dựa vào đồ thị ta có: Để d cắt (P) tại 
hai điểm có hoành độ d−ơng thì 
0 2m< < 
0,25 
0,50 
0,50 
 2.3 
(1,25đ) 
4 24 2 0x x m− + = (2) 2 4 2 0X X m⇔ − + = và 2( 0)X x= ≥ (3) 
Để ph−ơng trình (2) có 4 nghiệm phân biệt thì ph−ơng trình (3) phải có 2 
nghiệm d−ơng phân biệt. Từ câu 1. và 2. ta suy ra 0 2m< < . 
Khi đó 4 nghiệm của (2) là: 1,2 2 4 2x m= ± − − và 3,4 2 4 2x m= ± + − 
0,25 
0,50 
0,50 
3. 3.1 
(1,25 đ) 
Gọi số cần tìm là xy với , ;1 , 9x y x y∈ ≤ ≤Z . 
Theo giả thiết: 
( )
10 16
39
90 9 16
10 10 27
x y
x y
xy
x y xy
x y y x
+
=
− =
⇔ 
+ = + − + =
Giải hệ ta có 1 2
39;
16
x x= = (loại). Suy ra 6y = . 
Vâỵ số cần tìm là 96. 
0,25 
0,50 
0,50 
 3.2 
(2,25 đ) 
a là số chính ph−ơng, nên 1,4,9a = . 
Ta có 2 29 81; 10 100= = nên không có số 9x nào là số chính ph−ơng. Do đó 
a chỉ có thể là 1 hoặc 4. 
ad là số chính ph−ơng nên ad chỉ có thể là 16, hoặc 49. Nên d chỉ có thể là 
6 hoặc 9. 
0,50 
0,25 
 cd là số chính ph−ơng nên cd chỉ có thể là 16, hoặc 36, hoặc 49. Nên Nên c 
chỉ có thể là 1, hoặc 3, hoặc 4. 
0,25 
 3 
Nếu 1a = thì 6d = và 1c = hoặc 3c = , khi đó 1 16 1 36abcd b hay b= và 
( ) ( )2 21 6 4 6bc x hay x= . 
Ta có: 2 2 2 2 226 676; 34 1156; 36 1296; 44 1936; 46 2126= = = = = . Chỉ chọn 
đ−ợc 1936. 
Nếu 4a = thì 9d = và 4c = , khi đó ( ) ( )2 24 49 3 7abcd b x hay x= = . 
Ta có: 2 2 263 3969; 67 4489; 73 5329= = = . Không chọn đ−ợc số nào. 
Vậy chỉ có các chữ số 1, 9, 3, 6a b c d= = = = thỏa mãn điều kiện bài toán. 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
4 4.1 
(1,25 đ) 
Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau) 
Chứng minh đ−ợc 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng. 
Suy ra: 2 2 .
MA MN MN MP MA MB
MN MB
= ⇔ = = 
0,25 
0,50 
0,50 
 4.2 
(1,25 đ) 
Để MNOP là hình vuông thì đ−ờng chéo 2 2OM ON R= = 
Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đ−ờng tròn tâm O đi qua 
điểm D, cắt (d) tại M. 
Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP. Ta có 
2 2MN MO ON R= − = , nên Tam giác ONM vuông cân tại N. T−ơng tự, 
tam giác OPM cũng vuông cân tại P. Do đó MNOP là hình vuông. 
Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì 2OM R R= > 
0,25 
0,25 
0,50 
0,25 
 4.3 
(2,0 đ) 
 + Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên MNOP là tứ giác nội tiếp 
đ−ờng tròn đ−ờng kính OM. Tâm là trung điểm H của OM. Suy ra tam giác 
cân MPQ nội tiếp trong đ−ờng tròn đ−ờng kính OM, tâm là H. 
+ Kẻ OE AB⊥ , thì E là trung điểm của AB (cố định). Kẻ ( )HL d⊥ thì HL // 
OE, nên HL là đ−ờng trung bình của tam giác OEM, suy ra: 
1
2
HL OE= 
(không đổi). 
+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn không đổi, 
nên H chạy trên đ−ờng thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE. 
0,25 
0,5 
0,25 
 4 
 + Ta có: OM là phân giác trong góc 
NMP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). 
Kẻ tia phân giác trong góc 
PNM cắt đ−ờng tròn (O) tại điểm F, khi đó 
 NF FP= (ứng với góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng 
nhau). 
+ Suy ra F ở trên OM, do đó F là tâm đ−ờng tròng nội tiếp tam giác MNP. 
+ Vậy khi M đi động trên (d) thì tâm đ−ờng tròn nội tiếp tam giác MNP chạy 
trên đ−ờng tròn (O). 
0,5 
0,25 
0,25 
5 (2,0 đ) 
+ Đ−ờng thẳng BC có ph−ơng trình dạng: 2y ax= + (đi qua B(0; 2) và 
qua C(-3; 0) nên 
2
3
a = . Do đó ph−ơng trình của đ−ờng thẳng BC là: 
2 2
3
y x= + . 
+ Tam giác ADC cân tại D (gt), nên 
 
CAD DCA= , suy ra hệ số góc của 
AD là số đối của hệ số góc của BC, nên ph−ơng trình của AD có dạng 
2
3
y x b= − + . Mà AD đi qua A(1; 0) nên 2
3
b = , suy ra, ph−ơng trình của 
đ−ờng thẳng AD là: 
2 2
3 3
y x= − + . 
+ Gọi E( m ; 0) thuộc đoạn CA thì ( 3 1)m− ≤ ≤ . Đ−ờng thẳng d song song 
với AD nên d: 
2
3
y x b= − + , d đi qua E nên: 2 2:
3 3
md y x= − + . 
+ Ph−ơng trình đ−ờng thẳng BE: 2y ax= + . BE đi qua E(m; 0) nên 
2
a
m
= − khi 0m ≠ ; còn nếu 0m = thì BE Oy≡ . Do đó ph−ơng trình của 
BE là: 
2 2y x
m
= − + ( 0m ≠ ) và 0x = (m = 0). 
+ Ph−ơng trình cho hoành độ giao điểm G của BE và AD là: 
2 2 2 22 ;
3 3 3
m
x x x
m m
−
− + = − + ⇔ =
−
 suy ra tung độ của G: 
2( 1)
3
my
m
−
=
−
( )0; 3m m≠ ≠ 
+ Ph−ơng trình đ−ờng thẳng CG: y ax b= + , CG đi qua C và G nên ta có 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 5 
hệ ph−ơng trình: 
2( 1)3 0
9
2 2( 1) 6( 1)
3 3 9
m
a b a
m
ma m
mb bm m
m
−
− + = =  
−⇔
− − 
−+ = 
=
− + 
−
Suy ra hệ số góc của đ−ờng thẳng CG là 
2( 1)
9
m
a
m
−
=
−
0,25 
 + Ph−ơng trình đ−ờng thẳng AB: 2 2y x= − + 
+Ph−ơng trình cho hoành độ giao điểm F của AB và d là: 
2 2 32 2
3 3 2
m m
x x x
−
− + = − + ⇔ = ; suy ra tung độ của F là: 1y m= − 
+ Ph−ơng trình đ−ờng thẳng CF có dạng: ' 'y a x b= + , CF đi qua C và F nên: 
( )
2( 1)3 ' ' 0 '
93 ' 6( 1)' 1
'2 9
m
a b a
m
m a
mb m b
m
−
− + = = 
−⇔ − 
−+ = − 
= 
−
. 
Suy ra hệ số góc của đ−ờng thẳng CF là: 
2( 1)
'
9
m
a a
m
−
= = −
−
. 
+ Hai đ−ờng thẳng CG và CF ở về hai phía đối với CA và có hệ số góc đối 
nhau, nên cùng tạo với CA (trục Ox) một góc nhọn bằng nhau, suy ra: CG và 
CF đối xứng nhau qua CA. 
0,25 
0,25 
+ Tr−ờng hợp 0m = : BE: x =0, nên 20;
3
G   
 
, hệ số góc của CG là 
2
9
a = ; 
đ−ờng thẳng d: 
2
3
y x= − , tọa độ điểm 3 ; 1
2
F  − 
 
, hệ số góc của CF là 
2
'
9
a = − , bài toán vẫn còn đúng. 
0,25 
6 
 6.1 
(1,25 đ) 
+ Câu: "Nếu mỗi tấm bìa mà mặt chữ cái là nguyên âm thì mặt kia là số chẵn" 
đúng khi kiểm tra các tấm bìa ở mặt chữ cái nếu là nguyên âm thì mặt sau phải 
là số chẵn, còn tấm bìa nào có mặt chữ cái là phụ âm thì mặt số là số chẵn 
hoặc lẻ đều không ảnh h−ởng. 
Do đó nếu lật tấm bìa chữ A mà mặt sau là số lẻ, thì khẳng định ngay câu trên 
không đúng, ng−ợc lại mặt sau là số chẵn thì phải lật tiếp mặt sau của tấm bìa 
có chữ số 3, nếu mặt đó là phụ âm thì câu trên hoàn toàn đúng, ng−ợc lại là 
sai. Còn mặt sau tấm bìa chữ M có thể số chẵn hoặc lẻ đều đ−ợc, cũng nh− 
mặt sau tấm bìa số 6 là nguyên âm hoặc phụ âm đều đ−ợc, câu trên đều đúng. 
Vậy chỉ cần lật tối đa 2 tấm bìa chữ A và số 3 là có thể kiểm chứng đ−ợc câu 
trên là đúng. 
0,50 
0,25 
0,25 
0,25 
 6 
 6.2 
(1,75 đ) 
+ Gọi x là số học sinh giỏi cả 3 môn Văn, 
Toán, Ngoại ngữ (x > 0), dựa vào biểu đồ ta 
có: 
Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là: 
( )70 49 32 x− − − 
Số học sinh chỉ giỏi một môn Văn là: 
( )65 49 34 x− − − 
Số học sinh chỉ giỏi một môn Ngoại ngữ là: 
( )62 34 32 x− − − 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 + Có 6 học sinh không đạt yêu cầu nên: 
( ) ( ) ( )111 6 70 49 32 65 49 34 62 34 32x x x− = − − − + − − − + − − − + 
 ( ) ( )49 32 34x x+ + − + − 
82 105 23x x⇔ + = ⇔ = 
Vậy có 23 học sinh giỏi cả 3 môn 
0,50 
0,25