Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2012 – 2013 môn thi: Toán

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27/03/2013
( Đề thi gồm có 01 trang )
Câu 1 (2,0 điểm):
 a) Rút gọn biểu thức: với 
 b) Cho . Tính giá trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018
Câu 2 (2,0 điểm):
Giải phương trình 
 b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau: 
Câu 3 (2,0 điểm):
 a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 5 thì chia hết cho 5.
 b) Cho phương trình với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết là nghiệm của phương trình. 
Câu 4 (3,0 điểm):
 Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. 
 a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
 b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
 c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
Câu 5 (1,0 điểm):
 Cho với n. 
 Chứng minh rằng: .
------------- HẾT ------------
Họ và tên thí sinh:  .. Số báo danh .
Chữ kí giám thị 1 .. Chữ kí giám thị 2 ..
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013
Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm
CÂU
PHẦN
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
2,0
điểm
a)
1,0 điểm
Ta có :
Nhưng do theo giả thiết ta thấy <0
0,25
0,25
0,25
0,25đ
b)
1,0
điểm
=> 
B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018 
B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2013 
B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2013
B = 2013 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2
2,0
điểm
a)
1.0 điểm
Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình 
Với , phương trình đã cho tương đương với: 
Đặt phương trình trở thành
Giải phương trình ta được ( thỏa mãn )
Với ta có 
Giải phương trình ta được ( thỏa mãn )
Với ta có 
Giải phương trình ta được (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là : ;
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
1,0 ®iÓm
 	(I) ( ) 
Đặt S= ; P = ( ) hệ (I) có dạng
( II)
Giải hệ ( II) và đối chiếu điều kiện ta được 
Khi đó là 2 nghiệm của phương trình t2 – 4t + 3 =0
Giải phương trình ta được t1 = 3; t2 = 1
Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3
2,0
điểm
a)
1.0 điểm
 ( Vì 5 là số nguyên tố) 
0.25
0,25
0,25
0,25
b)
1,0 ®iÓm
=
 là nghiệm của phương trình nên ta có
Vì nên 
Do đó nếu thì (Vô lí)
Suy ra 
0,25
0,25
0,25đ
0,25
Câu 4
3,0
điểm
a)
1,0 ®iÓm
I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua O ) 
Ta có ( do AM là hai tiếp tuyến (O) )
 ( do AN là hai tiếp tuyến (O) )
Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA
0,25
0,25
0,25
0.25
b)
1,0 ®iÓm
AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác mà ∆OMN cân tại O nên 
∆ABN đồng dạng với ∆ANC ( vì sđ và chung ) suy ra 
∆ANO vuông tại N đường cao NH nên ta có AH.AO = AN2
Suy ra AB.AC = AH.AO
∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì và chung ) 
Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy ra AK cố định mà A cố định, K là giao điểm của dây BC và dây MN nên K thuộc tia AB suy ra K cố định
0,25
0,25
0,25
0,25
c)
1,0 ®iÓm
Ta có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).
Xét ∆MHE và ∆QDM có ( cùng phụ với ), ( cùng phụ với ) 
∆PMH đồng dạng với ∆MQH 
Þ ME = 2 MP Þ P là trung điểm ME.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
1,0
điểm
Vì và nên 
Do đó: 
0,25
0,25
0,25
0,25
Hết