Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh năm học 2010 - 2011 môn Toán 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THANH HOÁ 
Đề chính thức 
 Số báo danh 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
 Năm học 2010- 2011 
Môn thi: Toán 
Lớp: 9 THCS 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 24/03/2011 
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). 
Câu I. (5,0 điểm). 
 1) Cho phương trình: 2 2 2 1 0.x mx m− + − = Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm 
 1 2,x x với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 22 2
1 2 1 2
2 3
2(1 )
x xP
x x x x
+= + + + khi m thay đổi. 
2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 1 1 1 .
a b c
+ = Chứng minh rằng 2 2 2A a b c= + + 
 là số hữu tỉ. 
 (b). Cho ba số hữu tỉ , ,x y z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 
 2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
= + +− − − là số hữu tỉ. 
Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình: 
2 2 10 .
1 1 9
x x
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 2) Giải hệ phương trình: 
2
2
3
2 3
1 11 4
1 4.
x x
y y
x xx
y y y
⎧ ⎛ ⎞+ + + =⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨⎪ + + + =⎪⎩
Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, 
 sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. 
 Tính  .BPE 
Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O AB∉ ). P là điểm di động 
trên đoạn thẳng AB ( ,P A B≠ và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm 
P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường 
tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N P≠ ). 
1) Chứng minh rằng  ANP BNP= và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 
 2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động. 
Câu V. (4,0 điểm). 
1) Cho 1 2 45, ,....,a a a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn 1 2 45.... 130.a a a< < < ≤ Đặt 
1 , ( 1,2,...,44).j j jd a a j+= − = Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu jd xuất hiện ít 
nhất 10 lần. 
2) Cho ba số dương , ,a b c thoả mãn: 2 2 2 2 2 2 2011.a b b c c a+ + + + + = 
 Chứng minh rằng: 
2 2 2 1 2011.
2 2
a b c
b c c a a b
+ + ≥+ + + 
 ............................................................. HẾT ........................................................ 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. 
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
(Gồm có 3 trang) 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
NĂM HỌC 2010 - 2011 
MÔN THI: TOÁN 
LỚP: 9 THCS 
Ngày thi: 24 - 3 - 2011 
Câu Ý Hướng dẫn chấm Điểm 
Ta có 2' ( 1) 0,m mΔ = − ≥ ∀ nên phương trình có hai nghiệm với mọi m. 0,5 
Theo định lí viet, ta có 1 2 1 22 , 2 1x x m x x m+ = = − , suy ra 24 14 2
mP
m
+= + 
1,0 
1) 
2,5đ 
2
2
(2 1)1 1. 1,
4 2
m Max P
m
−= − ≤ =+ khi 
1 .
2
m = 1,0 
 Từ giả thiết suy ra 2 2 2 0ab bc ca− − = 0,5 2a) 
1,5đ 
Suy ra 2( )A a b c a b c= + − = + − là số hữu tỉ 1,0 
Đặt 1 1 1, ,a b c
x y y z x z
= = =− − − suy ra 
1 1 1 .
a b c
+ = 0,5 
Câu I 
6 đ 
2b) 
1,0đ 
Áp dụng câu 2a) suy ra 2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
= + +− − − là số hữu tỉ. 
0,5 
Đk: 1.x ≠ ± Phương trình tương đương với 
22 2 2 2
2 2 2
10 2 2 102 0.
1 1 1 9 1 1 9
x x x x x
x x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞+ − = ⇔ − − =⎜ ⎟⎜ ⎟+ − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1,0 
Đặt 
2
2
2 ,
1
xt
x
= − ta được phương trình 
2 10 50
9 3
t t t− − = ⇔ = hoặc 2
3
t −= 0,5 
Với 5 ,
3
t = ta được 
2
2
2 5
1 3
x
x
=− (vô nghiệm) 
0,5 
1) 
2,5đ 
Với 2 ,
3
t = − ta được 
2
2
2 2
1 3
x
x
= −− suy ra 
1 .
2
x = ± 0,5 
Đk: 0.y ≠ Hệ tương đương với 
2
2
3
3
1 1 4
1 1 4.
x x
y y
xx x
y y y
⎧ + + + =⎪⎪⎨ ⎛ ⎞⎪ + + + =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
0,5 
Câu II 
6 đ 
2) 
2,5đ 
Đặt 
1
,
u x
y
xv
y
⎧ = +⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
 ta được hệ 
2 2
3 2
2 4 4 4 0 2
1.2 4 4 2
u u v u u u
vu uv u u v
⎧ ⎧+ − = − + = =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ =− = + − =⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎩
1,0 
Với 
2
1,
u
v
=⎧⎨ =⎩ ta được 
1 2
1
1.1
x
xy
x y
y
⎧ + =⎪ =⎧⎪ ⇔⎨ ⎨ =⎩⎪ =⎪⎩
 (thoả mãn điều kiện) 
1,0 
Kẻ EF AC⊥ tại F, DG BC⊥ tại G. 
Theo giả thiết ( ) ( )ADPE BPCS S= 
 ( ) ( ).ACE BCDS S⇒ = 
0,5 
Mà AC BC EF DG= ⇒ = và  A C= 
 Suy ra .AEF CDG AE CGΔ = Δ ⇒ = 
0,5 
Do đó  ( )AEC CDB c g c DBC ECAΔ = Δ − − ⇒ = 0,5 
Câu 
III 
2đ 
     060BPE PBC PCB PCD PCB⇒ = + = + = 0,5 
1,0 
Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến 
chung của (O) với (C), (D) tại A, B 
tương ứng. 
 Suy ra     .ANP QAP QBP BNP= = = 
Ta có 
     ANB ANP BNP QAP QBP= + = + 
0180 AQB= − , suy ra NAQB nội tiếp (1).
Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B 
cùng nằm trên một đường tròn. 
0,5 
0,5 
Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên
 một đường tròn. 
0,5 
1) 
3,0đ 
Ta có    2 2OCN OAN OBN ODN= = = , 
suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm 
 trên một đường tròn. 
0,5 
Câu 
IV 
4,0đ 
2) 
1,0đ 
Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua 
các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố 
định. 
1,0 
1 2 44 2 1 3 2 45 44 45 1... ( ) ( ) ... ( ) 130 1 129.d d d a a a a a a a a+ + + = − + − + + − = − ≤ − = (1) 0,5 1) 
2,0 
đ 
Nếu mỗi hiệu ( 1,2,....,44)jd j = xuất hiện không quá 10 lần thì 
1 2 44... 9(1 2 3 4) 8.5 130d d d+ + + ≥ + + + + = mâu thuẫn với (1). 
Vậy phải có ít nhất một hiêụ ( 1,...,44)jd j = xuất hiện không ít hơn 10 lần 
1,5 
Câu V 
2đ 
2) 
2,0đ 
Ta có 2 2 22( ) ( )a b a b+ ≥ + . 0,5 
A 
O N 
C D 
B P 
Q 
E 
H 
GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. 
Suy ra ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a c a
+ + ≥ + ++ + + + + +
Đặt 2 2 2 2 2 2, , ,x b c y c a z a b= + = + = + 
suy ra 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
y z x z x y x y zVT
x y z
+ − + − + −≥ + + 
2 2 21 ( ) ( ) ( )
2 2 22 2
y z z x x yx y z
x y z
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +≥ − + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
1,0 
2 2 21 ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3
2 2 22 2
y z z x x yx x y y z z
x y z
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +≥ + − + + − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
( ) ( ) ( )1 2( ) 3 2( ) 3 2( 3
2 2
y z x z x y x y z≥ + − + + − + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
Suy ra 1 1 2011( )
2 22 2
VT x y z≥ + + = 
0,5