Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm học 2013-2014 môn: Toán lớp 9 THCS

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2013-2014
 Khóa ngày 28 tháng 3 năm 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC	 Môn: TOÁN
Họ và tên:. 	 LỚP 9 THCS
SỐ BÁO DANH: Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
	 Đề gồm có 01 trang
Câu 1(3.0 điểm) 
Cho .
 Chứng tỏ rằng là nghiệm của phương trình: .
Giải phương trình sau:
 .
Câu 2(3.0 điểm)
Cho phương trình: ( m tham số). 
Tìm để phương trình có 2 nghiệm là số đo hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là (đơn vị độ dài).
 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . 
 Chứng minh rằng: . 
Câu 3(3.0 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi H, D lượt là chân đường cao và chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A của tam giác (H, DBC). Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AD cắt đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính AC lần lượt tại M, N; đường thẳng BN cắt AD tại P và cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai Q (khác N). Chứng minh rằng:
 vuông cân và 
 P là trung điểm AD.
Câu 4(1.0 điểm) 
 Kí hiệu là tổng của tất cả các chữ số của một số nguyên dương n.
 Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ..
--------------------HẾT---------------------
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS. NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN
	 Khóa ngày 28 tháng 03 năm 2014)	 
(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
yªu cÇu chung 
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0 cho ý có liên quan đến hình. Điểm hình vẽ tính đúng cho ý 3a.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
Câu
Nội dung
Điểm
1a
Cho 
Chứng tỏ rằng là nghiệm của phương trình: .
1.5 
0,25
0,5
0,5
. (đpcm)
0,25
1b
 Giải phương trình.
1,5
 Điều kiện xác định của phương trình là .
(vì )
0,5
0,25
Giải (*), đăt khi đó ta có
0,25
0,25
Với ta được ( thỏa mãn điều kiện).
Vậy nghiệm của phương trình là .
0,25
2a
 Cho phương trình: ( m tham số). 
Tìm để phương trình có 2 nghiệm là số đo hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền là .
1,5
Theo yêu cầu bài toán thì ta cần tìm m để phương trình phải có 2 nghiệm dương thỏa mãn :
0,25
Xét phương trình (*) ta có : suy ra phương trình có hai nghiệm và .
0,25
+ Ta có , 
0,25
+ Với thay và : 
 0,5
Kết hợp với điều kiện ta được là giá trị cần tìm.
0,25
2b
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn .
 Chứng minh rằng: .
1,5
.(*) 
0,25
Từ và suy ra hay 
0,25
Ta có: (1)
0,25
Tương tự : 
(2)
(3)
0,25
Từ (1), (2) và (3) suy ra :
 .
0,25
 (đpcm).
0,25
3
3.0
0,25
3a
Chứng minh rằng: vuông cân VÀ 
1.0
Xét hai tam giác .
Có : ( vì )
0,25
Mà ( AD là phân giác ).
0,25
Suy ra 
Mặt khác 
 Do đó vuông cân và hai tam giác vuông đồng dạng
.Nên 
0,5
3b
 Chứng minh M là trung điểm AD.
1.0
Ta có ( vì cùng vuông góc MN) nên ta có các hệ thức sau
0,5
 Suy ra: (1) 
0,25
Mà theo câu a ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra ( đpcm).
0,25
3c
Chứng minh 
0,75
Ta cónên H là giao điểm thứ hai(khác A) của hai đường tròn đường kính AC và đường tròn đường kính AB, tức là N,C, H,Q thuộc đường tròn đường kính AC 
Suy ra 
0,25
Mà ( vì AD//NC)
Suy ra .
Vậy tứ giác nội tiếp đường tròn; Do đó (3)
0,25
Hơn nữa tam giác PHD cân tại P nên (4)
 Từ (3) và (4) suy ra .(đpcm).
0,25
4
Kí hiệu là tổng của tất cả các chữ số của một số nguyên dương n.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ..
1.0
Xét suy ra Do đó 
Suy ra không có nghiệm nguyên dương.
0,25
Xét với thì
Suy ra , 
0,25
Ta tìm n nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn và ,
Vì .
Nếu ,
0,25
Nếu suy ra k=3.
Khi đó suy ra số n nhỏ nhất thỏa là .
0,25