Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế khối 12 THPT - Năm học 2005-2006 môn: Toán (vòng 1)

	Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o	Kú thi chän häc sinh giái tØnh
	Thõa Thiªn HuÕ	Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006
	§Ò thi chÝnh thøc	
 Moân : TOAÙN ( Voøng 1)
 Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà
 ........... ...........................................................................................................................................
 BAØI 1:
 Goïi (C) laø ñoà thò haøm soá :y = x3 – 2005x. M1 laø ñieåm treân (C) coù hoaønh ñoä x1=1.
 Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M1 caét (C) theâm moät ñieåm M2 khaùc M1.
 Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M2 caét (C) theâm moät ñieåm M3 khaùc M2,
 Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm Mn-1 caét (C) theâm moät ñieåm Mn khaùc Mn-1.(n =3,4,...)
 Goïi (xn;yn) laø toïa ñoä cuûa ñieåm Mn . Tìm n ñeå ñaúng thöùc sau ñuùng :
 2005xn + yn + 22007 = 0 
 BAØI 2:
 Cho hình vuoâng EFGH .Goïi (T) laø ñöôøng troøn qua caùc trung ñieåm caùc caïnh cuûa
 tam giaùc EFG. Nhaän xeùt: Ñieåm H thoaû maõn ñoàng thôøi hai tính chaát sau :
 a/ Caùc hình chieáu vuoâng goùc cuûa noù laàn löôït leân caùc ñöôøng thaúng : EF ,FG, GE 
 naèm treân moät ñöôøng thaúng d.
 b/ Ñöôøng thaúng d tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (T) .
 Haõy tìm taäp hôïp taát caû caùc ñieåm N cuûa maët phaúng chöùa hình vuoâng EFGH sao
 cho N thoaû maõn ñoàng thôøi hai tính chaát a/ vaø b/ ôû treân . 
 BAØI 3:
 Goïi R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn ngoïai tieáp cuûa tam giaùc ABC
 Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC khoâng coù caïnh naøo ngaén hôn baùn kính R 
 vaø coù dieän tích nhoû hôn hoaëc baèng thì : sinA + sinB + sinC .
 ------------- Heát --------------- 
	Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o	Kú thi chän häc sinh giái tØnh
	Thõa Thiªn HuÕ	Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006
	§Ò thi chÝnh thøc	
 Moân : TOAÙN ( Voøng 2)
 Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà
 ........... ...........................................................................................................................................
 BAØI 1:
 Vôùi moãi soá thöïc a, kí hieäu [a] chæ soá nguyeân k lôùn nhaát maø k a .
 Giaûi phöông trình : [lg] + + [] = [] + [] 
 BAØI 2:
 Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD,coù ñaùy ABCD laø moät hình bình haønh .
 Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc SAC. M laø moät ñieåm thay ñoåi trong mieàn hình 
 bình haønh ABCD .Tia MG caét maët beân cuûa hình choùp S.ABCD taïi ñieåm N . 
 Ñaët : Q = 
 1/ Tìm taát caû caùc vò trí cuûa ñieåm M sao cho Q ñaït giaù trò nhoû nhaát .
 2/ Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa Q .
 BAØI 3:
 Vôùi moãi soá nguyeân döông n ,haõy tìm taát caû caùc ña thöùc P(x) thoaû maõn ñoàng thôøi 
 hai ñieàu kieän sau :
 a/ Caùc heä soá cuûa P(x) khaùc nhau ñoâi moät vaø ñeàu thuoäc taäp {0;1;.....;n}.
 b/ P(x) coù n nghieäm thöïc phaân bieät .
 ------------ Heát -------------- 
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o	Kú thi chän häc sinh giái tØnh
	Thõa Thiªn HuÕ	Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006
	§Ò thi chÝnh thøc
 	Moân : TOAÙN ( Voøng 1)
 	 ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM 
Baøi
Noäi dung 
Ñieåm
1
( 6ñ)
+ Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi Mk (xk;yk): y - yk = y’(xk)(x- xk)
 y = (3x-2005)(x- xk)+ x-2005xk
1,0
+ Xeùt phöông trình : x3 – 2005x = (3x-2005)(x- xk)+ x-2005xk 
 (x- xk) (x2+ xk.x-2 x) = 0 x= xk ; x = - 2xk 
+ Vaäy xk+1 = - 2xk 
1,0
1,0
+ x1 =1 , x2 = -2 , x3 = 4 ........ , xn = (-2) n-1 n= 1,2,..........
+ yn = x-2005xn , 2005xn + yn + 2 2007 = 0 x = - 2 2007 (-2) 3n-3 = - 2 2007 
 3n-3 leû vaø 3n -3 = 2007 n= 670 
1,0
2,0
2
7,0
+ Ñieåm N thoaû tính chaát a/ khi vaø chæ khi N ôû treân ñöôøng troøn qua E,F,G.
1
+ Chöùng minh: Choïn heä truïc Oxy vôùi O laø taâm hình vuoâng EFGH vaø vec tô ñôn vò treân truïc : ; . Ta coù E(-1;0) , F(0;1) , G(1;0) . 
Phöông trình cuûa EF : x –y + 1 = 0 ; FG : x + y -1 = 0 ,ñöôøng troøn(EFG): x2+y2=1
Goïi N(X;Y). Toaï ñoä caùc hình chieáu cuûa N leân EG, EF, FG laàn löôït laø:
N1 (X;0) , N2 ((X+Y-1); (X+Y+1)) , N3 ((X-Y+1); (-X+Y+1))
N1, N2 , N3 thaúng haøng khi vaø chæ khi:(-X+Y-1)(-X)-(1-Y)(X+Y+1)=0X2+Y2=1(1)
2,0
+ Tìm theâm ñieàu kieän ñeå N thoaû tính chaát b/. Chæ caàn xeùt N(X;Y) khaùc F(0;1).
 Vôùi ñieàu kieän (1) ,döôøng thaúng d coù phöông trình : X(x-X) +(1-Y)(y-0)=0
 Taâm cuûa (T) laø I(0; ) . Baùn kính cuûa (T) : 
+ d tieáp xuùc (T) khi vaø chæ khi : 
 (2)
2,0
+ Giaûi heä (1) vaø(2). Ruùt X2 töø (1) thay vaøo (2):
(2Y2-Y-1)2=2(1-Y)(Y-1)2(2Y+1) 2 =2(1-Y).Ñang xeùt Y1 neân :(Y-1)(2Y+1)2= -2 
4Y3-3Y+1= 0(Y+1)(4Y2-4Y+1) = 0 Y= -1 ; Y= .
1,0
+ Vôùi Y=-1 ta coù ñieåm N(0;-1), ñoù laø H .
 Vôùi Y= , ta coù theâm hai ñieåm N : (;) vaø (-;) .
Taäp hôïp phaûi tìm laø ba ñænh cuûa tam giaùc ñeàu noäi tieáp trong ñöôøng troøn (EFGH) maø moät ñænh laø H
1,0
3
7,0
+ Tam giaùc coù : A = 900, B=600, C=300 thì coù daáu ñaúng thöùc .
+ Coù theå giaû söû : sinA sinBsinC . 
Ta chöùng minh : sinA+sinB+sinC u+v+w vôùi u =1 , v = , w = . 
1,0
1,0
+ S==2R2sinAsinBsinC 
+ S sinAsinBsinC sinAsinBsinC uvw .(1) 
1,0
1,0
+ sinC==vaø sinAsinB sinAsinBsinAsinBuv.(2)
 sinA1 sinAu .(3)
1,0
+ Ta coù :
u+v+w = sinC(++)+(sinB-sinC)( +)+(sinA-sinB)
Suy ra:
 u+v+w sinC(3) +(sinB-sinC)(2) + (sinA-sinB)
Do (1) ,(2) ,(3) neân : u+v+w 3sinC +2(sinB-sinC)+ (sinA-sinB) = sinA+sinB+sinC. Daáu ñaúng thöùc xaûy ra trong tröôøng hôïp tam giaùc ABC laø nöûa tam giaùc ñeàu .
2,0
 Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o	Kú thi chän häc sinh giái tØnh
	Thõa Thiªn HuÕ	Khèi 12 THPT - N¨m häc 2005-2006
	§Ò thi chÝnh thøc
 	Moân : TOAÙN ( Voøng 2) 
	 ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM 
Baøi
Noäi dung 
Ñieåm
1
6,0
+ Bieåu thöùc lgx xaùc ñònh khi x > 0.
+ Neáu x laø nghieäm thì : x = [] + []- [] - [lg] neân x laø soá nguyeân döông.
1,0
1,0
+ Ñaët x = 6q + r ,vôùi q vaø r laø caùc soá töï nhieân , 0r5 .
 [] + [] - [] = [ 3q +]+ [4q+] – [q+]= 6q + []+ []- []
Phöông trình trôû thaønh : 6q + r = 6q +[]+[]-[] -[lg]
 [lg]= []+ []- [] - r vôùi r{0;1;2;3;4;5}
2,0
+ Ta coù : []+[]-[]-r = 
+Do x1 neân [lgx]0 .Khoâng xeùt tröôøng hôïp r=1
Vôùi r1,ta coù : [lgx]= 00lgx < 1 1 x < 10 .
Ta choïn caùc soá nguyeân x thoaû 1 x < 10 vaø x chia cho 6 coù dö soá khaùc 1.
Nghieäm cuûa phöông trình : x{2;3;4;5;6;8;9} .
1,0
1,0
2
7,0
Caâu 1/ (Hình vẽ ở trang cuối)
+ Q = 2 .Daáu baèng khi vaø chæ khi : = = 1 .
+ SG caét mp(ABCD) taïi taâm O cuûa hình bình haønh ABCD. Goïi K laø trung ñieåm cuûa SG . Töø K döïng maët phaúng song song vôùi mp(ABCD) caét SA,SB,SC,SD laàn löôït taïi A1 ,B1 ,C1 ,D1 .Töø N döïng maët phaúng song song vôùi mp(ABCD) caét SG taïi N’.
Ta coù:=; =1N’truøng KN thuoäc caïnh hình bình haønh A1B1C1D1 
Noái NK caét caïnh hình bình haønh A1B1C1D1 taïi P, ta coù : PM // SG .
+ Töø ñoù : Q=2 khi vaø chæ khi M thuoäc caïnh hình bình haønh 
 laø hình chieáu song song cuûahình bình haønh A1B1C1D1 leân mp(ABCD)
 theo phöông SG .
1,0
1,0
1,0
Caâu 2/ 
+Mieàn hình bình haønh ABCD hôïp bôûi caùc mieàn tam giaùc OAB,OBC,OCD,ODA 
M thuoäc mieàn hình bình haønh ABCD neân M thuoäc moät trong boán mieàn tam giaùc naøy. Chaúng haïn M thuoäc mieàn OAB. MANC’; MB ND’; MO NS. 
Do ñoù N thuoäc mieàn SC’D’ vaø N’ thuoäc ñoaïn SH ,vôùi C’,D’ vaø H laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SC,SD vaø SO. 
Do ñoù : HG N’G SG. Vì vaäy : hay 2. 
2,0
+ Ñaët = Ta coù : Q = + vôùi [;2].
 Q’= 0 vaø (;2) = 1 . MaxQ = Max{Q();Q(2);Q(1)}= .
+ Giaù trò lôùn nhaát cuûa Q laø : . Ñaït khi M truøng vôùi O hoaëc caùc ñænh A,B,C,D.
1,0
1,0
3
7,0
+ Ñieàu kieän a/ cho thaáy baäc cuûa P(x) n ,ñieàu kieän b/ cho thaáy baäc cuûa P(x) n. 
Vaäy baäc cuûa P(x) laø n. P(x) = anxn + an-1xn-1 + ...........+ a1x + a0 .
 vôùi (a0, a1, ......, an) laø moät hoaùn vò cuûa {0,1,...,n} vaø an0 .
+ Ta coù : x > 0 P(x) > 0 .Do ñoù moïi nghieäm xi cuûa P(x) ñeàu khoâng döông .
+ Vôùi n=1 ,ta coù ña thöùc duy nhaát thoaû baøi toaùn : P(x) = 1.x + 0 .
1,0
1,0
1,0
+ Vôùi n=2 ,neáu P(x) = a2x2 +a1x + a0 thoaû baøi toaùn thì theo ñònh lí Víet :
 x1 + x2 = - ; x1.x2 = trong ñoù :{ a0, a1, a2}={0,1,2}, a20
 Do x1 0 , x2 0 , x1x2 neân , a10 .Suy ra : a0= 0 .
Caùc ña thöùc : P(x) = 1.x2 + 2.x + 0 , P(x) = 2.x2 + 1.x + 0 thoaû baøi toaùn .
+ Vôùi n=3 ,neáu P(x) = a3x3 +a2x2 +a1x + a0 thoaû baøi toaùn thì theo ñònh lí Víet :
 x1 + x2 + x3 = - ; x1x2 +x2x3 + x3x1 = ; x1x2x2 = - 
trong ñoù : { a0, a1, a2 ,a3}={0,1,2, 3}, a30
 Do x1 0 , x2 0 ,x3 0, x1x2 x1x3 x2x3 neân a10 vaø a20 . Suy ra: a0= 0 .
Ta coù :P(x)= a3x3 +a2x2 +a1x= x(a3x2 +a2x +a1) ;{ a1, a2 ,a3}={1,2, 3}, 
Caùc ña thöùc : P(x)=1.x3+3.x2+2.x+0 , P(x)=2x3+3x2+1.x+0 thoaû baøi toaùn .
1,0
1,0
+ Vôùi n>3,neáu P(x) = anxn + an-1xn-1 + ...........+ a1x + a0 thoaû baøi toaùn thì theo ñònh lí Víet : 
 vôùi (a0, a1, ......,an) laø moät hoaùn vò cuûa {0,1,...,n} vaø an0 
Do caùc xi khoâng döông vaø khaùc nhau ñoâi moät neân phaûi coù a0= 0 .
Vaäy P(x) coù moät nghieäm baèng 0 vaø n-1 nghieäm coøn laïi khaùc nhau ñoâi moät vaø ñeàu aâm.
Coù theå giaû söû xn= 0 .Luùc ñoù x1 , x2 ,...., xn-1 laø caùc nghieäm aâm cuûa :
Q(x)= anxn-1+ an-1xn-2 +...+ a2x +a1 vôùi (a1,a2,..., an) laø moät hoaùn vò cuûa{1,2,...,n},an0
Ñaët ui = - xi (i=1,2,.....,n-1) .Ta coù ui > 0 vaø :
 u1+ u2+....+ un-1= (1) ; u1u2...un-2+ u2u3... un-1+ ......+ un-1u1... un-3 = (2)
u1u2....un-1 = (3) . Töø (2) vaø (3) cho : + +.....+ = (4)
Theo baát ñaúng thöùc Coâsi : (u1+ u2+.........+ un-1)( + +.....+)(n-1) 2
Duøng (1) vaø (4) suy ra : .(n-1) 2 .Nhöng . neân :
 (n-1) 2 n 2 , maâu thuaån vôùi n > 3 . 
Caùc ña thöùc thoaû baøi toaùn :
P(x) = x , P(x) = x2 + 2x , P(x) = 2x2 + x , P(x) = x3+3x2+2x , P(x) = 2x3+3x2+x . 
2,0
 Hình vẽ baøi 2