Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế khối 12 THPT - Năm học 2007-2008 môn Toán

	Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o	Kú thi chän häc sinh giái tØnh
	Thõa Thiªn HuÕ	Khèi 12 THPT - N¨m häc 2007-2008
	§Ò thi chÝnh thøc	
	Moân : TOAÙN 	Thôøi gian laøm baøi : 180 phuùt
 Bài 1: (3 điểm)
	 Giải phương trình : .
 Bài 2: (4 điểm)
Chứng minh rằng: 
Giải bất phương trình: .
 Bài 3: (4 điểm)
 Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau có một số lẻ nghiệm thực:
 . 
 Bài 4: (4,5 điểm)
 Cho ABC là một tam giác nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không trùng nhau. Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC khi và chỉ khi :
 tgB + tgC = 2tgA .
 Bài 5: (4,5 điểm)
Cho a, b là các số thực không âm tùy ý có tổng nhỏ hơn hoặc bằng .
Chứng minh rằng : 
Xét các số thực không âm thay đổi thỏa điều kiện: . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:
 .
Hết 
	Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o	Kú thi chän häc sinh giái tØnh
	Thõa Thiªn HuÕ	Khèi 12 THPT - N¨m häc 2007-2008
	 	Moân : TOAÙN 
 	 	ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM 
Bài 1
 NỘI DUNG 
ĐIỂM
(3đ)
 Giải phương trình: 
Viết lại: 
0,5
Chú ý: và .
Do đó: (*) và 
1
 sinx = 0 hay sinx = 1
0,5
Nghiệm của phương trình đã cho là : x = k; x = + 2k (k)
1
 NỘI DUNG 
ĐIỂM
Bài 2
(4đ)
 Giải bất phương trình : .
a) Ta có: 2+=1+1+ 3= (BĐT Côsi, )
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 1.
1,0
Nhận xét là một nghiệm 
0,5
Ta sẽ chứng tỏ với thì: < 2 + (1)
0,5
Ta có: 2+> (câu a/ và x1 )
và: x3+2 –3(3x-x2-1) = x3+3x2-9x+5 = (x-1)(x2+4x-5) = (x-1)2(x+5)
0,5
Với mọi và x1 thì < 2 + 
Với thì < 30 < 2 + 
0,5
Từ đó (1) đúng với mọi x1. 
0,5
Vậy bất phương trình đã cho chỉ có một nghiệm là x = 1 .
0.5
Bài 3
 NỘI DUNG 
ĐIỂM
(4đ)
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau có một số lẻ nghiệm thực:
Đặt: và
g(x) là đa thức bậc 4 với hệ số của x4 là -3 .Ta lập bảng biến thiên của g(x). 
1
x
- 1 2 4 +
g’(x)
 + 0 - 0 + 0 -
g(x)
 36
 9
 4 
- -
2
Từ bảng biến thiên cho thấy phương trình có một số lẻ nghiệm khi và chỉ khi: 
1
Bài 4
 NỘI DUNG 
ĐIỂM
(4,5đ)
Cho ABC là một tam giác nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không trùng nhau. Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC khi và chỉ khi: tgB + tgC = 2tgA . 
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ : 
 A(p,q) , B(-r,-s), C(r,-s) (r>0; s>0;q>0) 
Ta có :) 
và p2+q2 = r2+s2 (2) 
1
Do O, G, H thẳng hàng nên GH//BC khi và chỉ khi (3)
0,5
Với tam giác ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC 
Do đó : tgB + tgC = 2tgA tgB.tgC = 3 (4)
1
Ta có: tgB =; tgC = ; tgB.tgC = = (do(2)) 
Hay: tgB.tgC = (5)
1
Nếu GH//BC thì từ (3) cho q = 2s. Từ (5) suy ra tgB.tgC = 3. 
Do (4) mà tgB + tgC = 2tgA 
0,5
Nếu tgB + tgC = 2tgA thì từ (4) và (5) cho q = 2s . Do (3) mà GH//BC. 
0,5
BÀI 5
 NỘI DUNG 
ĐIỂM
Câu a
 (1,5đ)
Chứng minh : (*) với a, b0 và a + b 
Bình phương các vế của (*) ta được:
 + 2+ 2
- (với u = ab; v = a + b)
0,5
 - 
Nếu u = ab = 0 thì (*) có dấu đẳng thức.
0,5
Xét u >0. Lúc đó (*) đúng khi bất đẳng thức: 
 + (**) đúng.
Ta có: + > 2= 2 2 = 
Ngoài ra: =< (Do 0 < v = a + b < 1 ). Từ đó (**) là bất đẳng thức đúng .
0,5
Câu b
(3đ)
Xét các số thực không âm thay đổi x,y,z thỏa điều kiện: x+ y + z = 1 .
 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: 
 Tìm MinS : 
Từ x + y + z = 1 và x, y, z không âm, suy ra x, y, z thuộc đoạn [0;1] .
 Vì nên: hay:. Dấu đẳng thức xảy ra trong trường hợp x = 0 hoặc x = 1 
0,5
Do đó: hay S 2. 
Khi x = y = 0 và y = 1 thì S = 2.
Vậy: MinS = 2 .
1
Tìm MaxS: Có thể giả sử: . Lúc đó: . Dùng câu a/, ta có:
 1 + +=1 ++
0,5
Đặt h(z) =+. Ta tìm giá trị lớn nhất của h(z) trên đoạn 
. 
0,5
Vì vậy : . 
Khi x = 0 và thì . Vậy: MaxS = 1 + .
0,5