Đề thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế lớp 12 THPT năm học 2004 - 2005 môn: Toán (vòng 1)

 UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ	kú thi chän hoc sinh giái tØnh
	Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o	líp 12 thPT n¨m häc 2004 - 2005
 M«n : TO¸N (vßng 1) 
 §Ò chÝnh thøc Thêi gian: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
 .................................................................................................................................................
 BµI 1:
 T×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : tháa ®iÒu kiÖn : 2004 < x < 2005 . 
 BµI 2:
 Trong mÆt ph¼ng (P), cho tam gi¸c vu«ng ABC cè ®Þnh cã AB = AC. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm thuéc mÆt ph¼ng (P) sao cho :
 BµI 3:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè : .
T×m sè thùc k nhá nhÊt sao cho víi mäi sè thùc a, b lu«n cã :
a + b + ab k(a2 + 2)(b2 + 2) .
 ------------- HÕt --------------- 
 UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ	kú thi chän hoc sinh giái tØnh
	Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o	líp 12 thPT n¨m häc 2004 - 2005
 M«n : TO¸n (vßng 2) 
 §Ò chÝnh thøc Thêi gian: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
 ................................................................................................................................................
 BµI 1:
Cho hµm sè cã tËp x¸c ®Þnh lµ D. TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè :	
Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh : 
 BµI 2:
 XÐt hai ®é dµi kh¸c nhau a, b. T×m ®iÒu kiÖn cña a, b ®Ó tån t¹i tø diÖn (T) cã mét c¹nh b»ng a vµ c¸c c¹nh cßn l¹i ®Òu b»ng b. Víi tø diÖn (T) nµy, h·y x¸c ®Þnh mÆt ph¼ng () sao cho thiÕt diÖn cña mÆt ph¼ng () vµ tø diÖn (T) lµ mét h×nh vu«ng (V). TÝnh diÖn tÝch cña h×nh vu«ng (V) theo a vµ b.
 BµI 3:
 Chøng minh r»ng tån t¹i mét tËp con E cña tËp c¸c sè tù nhiªn N tháa m·n ®ång thêi hai ®iÒu kiÖn sau :
E cã 2005 phÇn tö .
Víi bÊt k× cÆp sè nguyªn ph©n biÖt k, h cña E th× tÝch k.h chia hÕt cho (k-h)2.
 ------------ HÕt -------------- 
§¸p ¸n - Thang ®iÓm vßng 1
Bµi
Néi dung 
§iÓm
 1
.......
2
3 a
.......
3 b
(*)
+ = 
 cos2x = (-).(+)
+ (*) (-).{1 - (+)} = 0
 -=0 (1) hoaëc (+)= 1 (2)
+ (1) cos2x= 0 
+ (2) (1+).(1+sin2x) = 1sin2x=0 (vì sin2x >0 khoâng theå xaûy ra )
Töø ñoù : (*)cos2x= 0 hoaëc sin2x= 0 sin4x= 0 x =k ; k Z 
+ Vôùi ñieàu kieän 2004< x <2005 , choïn soá nguyeân k=2552. Vaäy : x = 638.
.....................................................................................................................................
+ MB +MC -MB-MC = 2 Min (MB; MC)
 4MA MB +MC -MB-MC 2MAMB vaø 2MAMC
+ Chän hÖ trôc Axy vµ ®¬n vÞ trªn trôc sao cho : B(3;0) ,C(0;3) . Gäi M(x;y)
2MAMB 4MA2 –MB2 0 4(x2+y2) – (x-3) 2 –y2 0 (x+1) 2 +y2 4
 VËy : 2MAMB M ë trong h×nh trßn (T) t©m I(-1;0),b¸n kÝnh 2. (kÓ c¶ biªn)
T­¬ng tù : 2MAMC M ë trong h×nh trßn (S) t©m J(0;-1),b¸n kÝnh 2. (kÓ c¶ biªn)
+TËp hîp nh÷ng ®iÓn M tho¶ bµi to¸n lµ phÇn giao cña hai h×nh trßn (T) vµ (S) .
(kÓ c¶ biªn)
y
x
+ Taäp xaùc ñònh : R
+ y’ = 
 =
+ y’= 0 x=1 ; x= ; 
 y(1)= ; y()= ; y()=; 
 x - -2- -2+ 1 +
 y ' + 0 - 0 + 0 -
 y 
 0 0 
 + Vaäy : ; Miny=
........................................................................................................................................
+ Gi¶ sö k lµ sè tho¶ bµi to¸n. Lóc ®ã : ®óng víi mäi a,b
 Víi a=b=1 ,ta cã k .
+Ta sÏ chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau ®óng víi mäi a,b : a+b+ab (a2+2)(b2+2).
 Ta cã : (a2+2)(b2+2)- 3(a+b+ab) = a2b2+2a2+2b2+4-3a-3b-3ab
 = (ab-1) 2+ (a-b) 2+ [(a-1) 2+(b-1) 2] 0
+Tõ ®ã sè k nhá nhÊt tho¶ bµi to¸n lµ : .
 6
.........
 6
4
..........
 4
 §¸P ¸N - THANG §IÓM (Vßng 2)
Bµi
Néi dung 
§iÓm
 1.a)
........
1.b)
.......
2
........
3 
 + Khi vµ vµ :
+ Khi x = 0 : .
 ......................................................................................................................................
 (*)
+ BiÜu thøc ln(x2+1) lu«n x¸c ®Þnh .
+ x=0 ; x=1 ; x=-1 lµ c¸c gi¸ trÞ tho¶ bÊt ph­¬ng tr×nh .
 -x= ().
+Khi x{0;1;-1} th× x.Theo ®Þnh lÝ Lagrange ,tån t¹i sè c ë gi÷a x vµ 
sao cho: - = ()
VËy: (*)().[ + ln(x2+1)]0
 0 ( V× [ + ln(x2+1)]> 0 )
 -x 0 .
+ Nghi­m c®a bÊt ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ : x .
 .......................................................................................................................................
§iÞu ki­n c®a a,b :
+Gi¶ s­ tø di­n (T) tån t¹i .Gäi AB lµ c¹nh b»ng a, c¸c c¹nh : AC,AD,BC,BD CD ®Þu cïng b»ng b . Gäi I lµ trung ®iÜm c¹nh CD.Tam gi¸c AIB lµ tam gi¸c c©n : 
 AB=a ;AI=BI=. Tõ AB<AI+BI suy ra : 
+Ng­þc l¹i vÝi : .Dùng tam gi¸c ®Þu BCD c¹nh b vÝiù chiÞu cao BI.
Dùng tam gi¸c c©n AIB cã AB=a ,n»m trong mØt ph¼ng chøa BI vµ vu«ng gãc vãi mp(BCD) .Ta cã :A mp(BCD) .Tø di­n ABCD tho¶ ®iÞu ki­n bµi to¸n .
X¸c ®Þnh mØt ph¼ng ():
+ Gi¶ s­ thiÕt di­n lµ h×nh vu«ng MNPQ. C¸c mØt c®a tø di­n (T) lÇn l­þt chøa c¸c ®o¹n giao tuyÕn MN,NP,PQ,QM ®­þc gäi tªn lµ mØt I, mØt II, mØt III, mØt IV.
Do MN//PQ;MQ//NP nªn c¹nh chung c®a mØt I vµ mØt III; c¹nh chung c®a mØt IIvµ mØt IV ,n»m trªn hai ®­êng th¼ng song song vÝi mp(). 
Ngoµi ra, hai ®­êng th¼ng nµy vu«ng gãc nhau,v× MN vu«ng gãc MQ.
+ Do a kh¸c b nªn tø di­n (T) chØ cã mét cØp c¹nh ®èi vu«ng gãc,®ã lµ AB vµ CD .
V× vËy mp() ph¶i song song vÝi AB vµ CD.
+ Gäi giao ®iÜm c®a mp() vÝi AC,BC,BD,AD,lÇn l­þt lµ M,N,P,Q. §Øt k = .
Ta cã :MN=;MQ=. Tõ MN=MQ ta cã : k = .
+ Di­ân tÝch c®a h×nh vu«ng MNPQ lµ :
........................................................................................................................................
+ Ta x©y dùng c¸c tËp En cã n phÇn tö tháa tÝnh chÊt :
“Víi bÊt k× cÆp sè nguyªn ph©n biÖt k ,h cña En th× tÝch k.h chia hÕt cho (k-h)2 “ b»ng ph­¬ng ph¸p qui n¹p theo n (n > 1)
+ Chän : E2 ={1;2} 
+ Gi¶ sö tËp En ={a1 ; a2 ;.......;an } víi n >1 , tháa tÝnh chÊt trªn .
XÐt tËp : En+1= F{m} víi m= a1.a2 ......an vµ F = {ai+ m/ i=1,2,....,n }
En+1 cã n+1 phÇn tö . Ta chøng minh En+1 tho¶ tÝnh chÊt trªn .
Víi k ,h lµ hai phÇn tö ph©n biÖt cña En+1 ,th× cã hai kh¶ n¨ng :
i/ChØ mét phÇn tö thuéc F ii/C¶ hai ®Òu thuéc F 
Tr­êng hîp i/ : k= ai+ m , h = m= a1.a2 ......an 
Ta cã : h chia hÕt cho ai ; k chia hÕt cho ai ; k.h chia hÕt cho :ai .ai cßn (k-h)2 = ai2
Tr­êng hîp ii/: k= ai+ m , h= aj+ m ; ai vµ aj thuéc En vµ kh¸c nhau.
Ta cã :k chia hÕt cho ai ;h chia hÕt cho aj ;k.h chia hÕt cho :ai.aj cßn (k-h)2 =(ai -aj)2 
Nh­ng ai vµ aj thuéc En nªn tÝch ai.aj chia hÕt cho (ai -aj)2 . 
Tõ ®ã tÝch k.h chia hÕt cho (k-h)2 .
3
.........
4
.........
 7
.........
6