Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm học 2007 - 2008 Trường THPT Hàm Yên

Sở GD&ĐT Tuyên Quang
Trường THPT Hàm Yên
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 
năm học 2007 - 2008
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề bài:
Câu 1: (5 điểm)
	Giải phương trình sau: 
Câu 2: (4 điểm)
	Chứng minh bất đẳng thức sau:
Câu 3: (4 điểm)
	Cho dãy số (un) xác định bởi: 
Tìm công thức tính un theo n.
Câu 4: (4 điểm)
	Tổng của m những số nguyên dương liên tiếp bằng 2008. Xác định những số ấy.
Câu 5: (3 điểm)
	Cho hình vuông ABCD có canh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = 3MD. Kẻ tia Bx cắt cạnh CD tại I sao cho . Kẻ tia phân giác BN của góc . Tính diện tích tam giác BMN.
__________________________________
Đáp án và thang điểm
Câu 1: (5 điểm)
Câu 2: (4 điểm)
Ta có: 
Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được:
 (1)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta được:
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Câu 3: 
Ta có:
Dự đoán un = 10n + n (1)
Chứng minh:
Ta có: u1 = 11 = 101 + 1 công thức (1) đúng với n = 1.
Giả sử công thức (1) đúng với n = k ta có: uk = 10k + k
Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1). Công thức (1) đúng với n = k + 1.
Vậy un = 10n + n, 
Câu 4: (4 điểm)
	Giả sử tổng của m số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ số k bằng 2008:
k + (k + 1) + (k + 2) +  + (k + m - 1) = 2008 
Nếu m lẻ 2k + m - 1 chẵn. Khi đó: m = 251, 2k + m - 1 = 24 (không xảy ra)
Nếu m chẵn 2k + m - 1 lẻ. Ta có: 
Vậy các số cần tìm là 118, 119,133.
Câu 5: (3 điểm)
A
B
M
D
I
N
C
H
	Trên tia BI, lấy điểm H sao cho BH = a. Khi đó BH = AB = BC nên ta có: Do đó: MH = AM và NH = CN. Suy ra M, H, N thẳng hàng, BI vuông góc với Mn tại H và MN = AM + NC.
Vậy 
Vì AM = 3MD nên 
Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho 
tam giác vuông MDN, ta có: