Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Nam Định năm 2001

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 TỈNH NAM ĐỊNH NĂM 2001
Câu I
Cho hàm số sau:
Với giá trị nào của a hàm số có đạo hàm tại x = 1? Với giá trị a vừa tìm được, tính ?
Câu II
Cho tam giác ABC. Biết rằng trên mặt phẳng (ABC) có điểm M sao cho MA = 1; MB = MC = 6. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu III
Trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho các điểm A'(-a;0); A(a;0) và elip (E) có phương trình:
với a > b > 0.
Trên elip (E) lấy điểm M bất kì. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MAA' khi điểm M chuyển động trên elip (E).
Câu IV
Tìm tất cả các cặp số (x;y) thỏa mãn:
Câu V
Cho hai phương trình sau:
    (1)
  (2)
(a là tham số, x là ẩn số)
Tìm a để số nghiệm của phương trình (1) không vượt quá số nghiệm của phương trình (2).