Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Nam Định năm 2004

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 TỈNH NAM ĐỊNH NĂM 2004
Câu I (5,0 điểm). 
Giải bất phương trình .
Câu II (6,0 điểm). 
1) Cho phương trình 
Tìm tất cả các giá trị của tham số a, để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hệ sau luôn có nghiệm (x;y)
Câu III (6,0 điểm). 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho 2 đường thẳng sao cho các đường thẳng: đôi một chéo nhau và vuông góc nhau.
1) Xét đường thẳng d bất kì đi qua O. Gọi thứ tự là góc giữa d với các đường thẳng . Chứng minh:
2) Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kỳ trong ba đường thẳng cùng bằng 2 đơn vị độ dài. Một hình hộp ABCD.A'B'C'D' thỏa mãn B' và D thuộc ; A' và C' thuộc ; A và D' thuộc . Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'.
Câu IV (3,0 điểm). 
Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng:
.