Đề thi chọn học sinh giỏi toán 9 thành phố Hà nội năm học 2010 - 2011

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
Năm học 2010 - 2011 
Thời gian làm bài 150 phút 
Bài 1 (2 điểm): 
Rút gọn biểu thức: 
Bài 2 (5 điểm): 
 [*] Giải phương trình 
 [*] Cho các số thực thay đổi và thoả mãn . Tìm khi lần lượt 
đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 
Bài 3 (5 điểm): 
 [*] Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của 
chúng. 
 [*] Cho các số thực không âm thay đổi và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
của 
Bài 4 (6 điểm): 
Cho tam giác nội tiếp đường tròn đường kính . 
 [*] Vẽ về phía ngoài tam giác nửa đường tròn đường kính và nửa đường tròn đường kính 
. Đường thẳng qua cắt hai nửa đường tròn lần lượt tại các điểm ( khác và 
khác ). Tính các góc của tam giác khi diện tích tam giác bằng 3 lần diện tích tam giác 
. 
 [*] Cho và điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi điểm là hình chiếu của điểm 
trên đường thẳng và điểm là hình chiếu của điểm trên đường thẳng . So sánh và với 
. 
Bài 5 (2 điểm): 
Hai người chơi trò chơi như sau: Trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy k viên bi, với . 
Người thắng là người lấy được viên bi cuối cùng trong hộp bi đó. 
 [*] Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng? 
 [*] Cũng hỏi như câu trên, khi đề bài thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên dương? 
 NKL-Sưu tầm