Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 7

ĐỀ THI HSG TOÁN 7
Bài 1:(2,5điểm)	
A,Thực hiện phép tính : (1 +2 +3 + ...+ 90). ( 12.34 – 6.68) :;
 B, Tìm các số x, y nguyên biết rằng:	
C,Với mọi số tự nhiên n 2 hãy so sánh:
	a. A= với 1 
Bài 2 (1,5đ):
	a) So sánh: 230 + 330 + 430 và 3.2410. b) So sánh: 4 + và +
 c. Chứng minh với mọi n nguyên dương thì: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hết cho 10
Bài 3: ( 2 điểm)
	Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào,biết nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỷ lệ theo 3:4:5.
Bài 4. (3điểm) 
 Cho có > 900. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D sao cho IB = ID. Nối C với D.
	a. Chứng minh 
	b. Gọi M là trung điểm của AB; N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN
	c. Chứng minh 	
 d. Tìm điều kiện của để 
Bài 5. (1đ) Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 
Đáp án (toán 7)
Bài 1
A, Tính . (1+2+3+...+90).( 12.34 – 6.68) : = 0 ( vì 12.34 – 6.68 = 0). (0,5) 
B,Từ:	
Quy đồng mẫu vế phải ta có :. Do đó : y(x-2) =8.
Để x, y nguyên thì y và x-2 phải là ước của 8. Ta có các số nguyên tương ứng cần tìm trong bảng sau:
y
1
-1
2
-2
4
-4
8
-8
x-2
8
-8
4
-4
2
-2
1
-1
x
10
-6
6
-2
4
0
3
1
C, Do với mọi n nên . ( 0,2 điểm )
A< C = ( 0,2 điểm )
Mặt khác:
C = ( 0,2 điểm)
= ( 0,2 điểm)
= 	(0,2 điểm )
Vậy A < 1
Bài 2 ( 1,5 điểm)
a) Ta có 430 = 230.415	
3.2410 = 230.311	
mà 415 > 311 ị 430 > 311 ị 230 + 330 + 430 > 3.2410	(0,5đ)
b) 4 =	 > 
 > 	(0,25đ)
ị + > + 	 0,5đ
c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 
vì 3n.10 10 và 2n.5 = 2n-1.10 10 suy ra 3n.10-2n.5 10 0,5đ
Bài 3(2 đ)
Gọi độ dài các cạnh tam giác là a, b, c ; các đường cao tương ứng với các cạnh đó là ha , hb , hc .
Ta có: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( ha + hc ) = 3 : 4 : 5
Hay: (ha +hb) = ( hb + hc ) =( ha + hc ) = k ,( với k 0).
Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( ha + hc ) = 5k .
Cộng các biểu thức trên, ta có: ha + hb + hc = 6k.
Từ đó ta có: ha = 2k ; hb =k ; hc = 3k.
Mặt khác, gọi S là diện tích , ta có:
a.ha = b.hb =c.hc
 a.2k = b.k = c.3k
 = = 
 Bài 4( 3 điểm)
Tam giác AIB = tam giác CID vì có (IB = ID; góc I1 = góc I2; IA = IC)
Tam giác AID = tam giác CIB (c.g.c)
à góc B1 = góc D1 và BC = AD hay MB =ND à tam giác BMI = tam giác DNI (c.g.c)
à Góc I3 = góc I4 à M, I, N thẳng hàng và IM = IN
Do vậy: I là trung điểm của MN
Tam giác AIB có góc BAI > 900 à góc AIB 900
Nếu AC vuông góc với DC thì AB vuông góc với AC do vậy tam giác ABC vuông tại A
 Bài 5(1 điểm)
P = P lớn nhất khi lớn nhất
Xét x > 14 thì 0 à lớn nhất à 14 – x là số nguyên dương nhỏ nhất
à 14 – x = 1 à x = 13 ; khi đó = 2000 à Plớn nhất = 2001.