Đề thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh Nam Định năm học 2007 –2008 môn: Toán lớp 12 thpt

Sở Giáo Dục - Đào Tạo đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh
 NAM Định Năm học 2007 –2008 
Đề chính thức
 Môn: Toán Lớp 12 thpt	 
 Thời gian làm bài 180 phút (Không kể thời gian giao đề)	 	 (Đề bài này gồm 01 trang)	 
Bài 1(2,0 điểm -Trắc nghiệm khách quan) Trong các câu hỏi sau đây, mỗi câu có nêu 4 phương án trả lời (có các chữ cái A, B, C, D đứng trước), trong đó chỉ có một phương án đúng. Hãy chọn phương án trả lời mà em cho là đúng, bằng cách viết ra chữ cái in đứng trước phương án đó. 
Câu 1: Điểm cực trị của hàm số y = x4 – 8x3 20 là
 A/ x = 0 và x = 1 B/ x = 0 và x = 6 C/ x = 6 D/ x= 0
Câu 2: Tìm điểm cực đại của hàm số y = x + 2 được kết quả là
 A/ x = B/ x = C/ x = và x = D/ không có điểm cực đại
Câu 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x3 3x2 – 10x + 3. Số các tiếp tuyến của (C) kẻ qua điểm M(3; 27) là
 A/ 3 B/ 2 C/ 1 D/ 0 
Câu 4: Cho hàm số y = (với tham số m). Các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là
 A/ m 0 và m B/ m 0 C/ m 1 D/ với mọi m.
Bài 2 (5,0 điểm) Cho hệ phương trình: ( với m là tham số)
1) Giải hệ phương trình khi m = .
2) Xét tất cả các nghiệm (x; y) của hệ phương trình đã cho, hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2y + xy2 .
Bài 3 (7,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường elip (E) có phương trình: với hai tiêu điểm là F1 và F2. M là điểm nằm trên (E).
a) Chứng minh rằng: khi M thay đổi thì OM2 + MF1.MF2 có giá trị không đổi. Tính giá trị đó.
b) Khi điểm M không thuộc trục Ox, chứng minh rằng: đường thẳng chứa đường phân giác ngoài của góc tại đỉnh M của tam giác MF1F2 chỉ có một điểm chung duy nhất với (E). 
2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2 ; 0 ; 0), N( 1; 1 ; 1) và mặt phẳng (P) thay đổi đi qua đường thẳng AN, sao cho (P) lần lượt cắt trục Oy tại điểm B có tung độ là b > 0 và cắt trục Oz tại điểm C có cao độ là c > 0.
 Chứng minh: 2(b + c) = bc. Hãy xác định b và c để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
Bài 4 (2,5 điểm) Giải bất phương trình: .
Bài 5 (3,5 điểm) 
 1) Tính tích phân I = 
2) Chứng minh rằng: nếu 0 < và x thì .
-------Hết-------
Họ tên thí sinh: .. Chữ ký giám thị 1..
Số báo danh : .. Chữ ký giám thị 2..
Sở Giáo Dục - Đào Tạo đáp án và hướng dẫn chấm
 NAM Định đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh 
đề chính thức
 Năm học 2007 –2008 
 Môn: Toán Lớp 12 thpt	 
Bài 1(2 điểm-Trắc nghiệm khách quan) mỗi câu đúng cho 0,50 điểm:
Câu1: C/ Câu2: D/ Câu3: B/ Câu4: A/ 
Bài 2 (5,0 điểm)
1) (1,50 điểm)
Khi m = 1/2 ta có hệ phương trình 
0,50
0,50
Giải và kết luận hệ có 2 nghiệm (x; y) là (0; ) và (; 0)
0,50
2) (3,5 điểm)
Biến đổi hệ đã cho thành hệ tương đương 
0,50
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi m2 – 4(2m2 – m) 0 -7m2 +4m 0
0,75
0,25
M = xy(x + y) M = m(2m2 – m)
0,25
Xét hàm số f(m) = m(2m2 – m) với m 
0,25
Có f’(m) = 6m2 – 2m ; f’(m) = 0 (đều thuộc )
0,75
f(0) = 0; f() = ; f() = 
0,50
Kết luận minM = ; maxM = 
0,25
Bài 3 (7,0 điểm) 
1) (4,0đ)
a) (2,5 đ) ( E) có phương trình dạng chính tắc với a2 = 25, b2 = 9 c2 = a2 - b2 = 16 
 a = 5, c= 4
0,50
Gọi M(x0; y0) MF1 = a + x0 ; MF2 = a - x0 và OM2 = 
0,50
 OM2 + MF1. MF2 = + (a + x0) (a - x0) = + a2 – (x0)2 = 
 + 25 – x02 = x02 + y02 + 25 (1)
0,75
M thuộc ( E) nên 
0,50
Thay vào (1) ta có OM2 + MF1. MF2 = 34
0,25
b) (1,5điểm)
Gọi d là đường thẳng qua đường phân giác ngoài của góc tại đỉnh M của tam giác MF1F2. Điểm M( E) khi và chỉ khi MF1+ MF2 = 2a = 10
0,50
Giả sử M’ là điểm bất kỳ thuộc d. Khi M’ và F2 cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ MF1 (hoặc M’ và F1 cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ MF2 có kết quả tương tự). Lấy điểm F2’ đối xứng với F2 qua d, khi đó: F2’ thuộc đường thẳng MF1 
và M’F1+ M’F2 = M’F1+ M’F2’ F1 F2’ (1)
0,50
Mà F1 F2’ = MF1+ MF2’ và MF2’ = MF2 F1 F2’ = MF1+ MF2= 10 (2)
0,25
Từ (1) và (2) M’F1+ M’F2 10, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M M’. Vậy nếu M’ khác M thì M’F1+ M’F2 > 10, nên M( E) và nếu M’ M thì M’( E) đpcm
0,25
2) (3,0điểm)
B(0; b; 0) , C(0; 0; c). Theo giả thiết, mp(P) đi qua A(2; 0; 0), B, C phương trình mp(P) 
0,50
Mặt khác mp(P) đi qua N(1; 1; 1) 2(b + c) = bc
0,50
Gọi S là dtABC 
0,25
 = (bc; 2c; 2b)
0,50
0,25
Mà 2(b + c) = bc . Ta có (b + c)2 4bc và b2 + c2 2bc
 (1)
0,25
Mặt khác bc = 2(b + c) (2)
0,25
Từ (1) và (2) dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi b = c mà 2(b + c) = bc, 
vậy b = c = 4 
0,25
KL: S đạt min khi và chỉ khi b = c = 4
0,25
Bài 4 (2,5 điểm)
Xét hàm số với 
Có 
0,25
 hàm số đồng biến và liên tục trên 
0,25
Ta lại có: và 
0,50
 phương trình = 0 có nghiệm duy nhất 
0,50
x 0 
 0 +
 Bảng biến thiên: 
0,50
Mặt khác . 
0,25
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
0,25
Bài 5 (3,5 điểm)
1) (2,0 điểm)
 (1)
0,25
Xét . Đặt 
 có . Đặt x = - t dx = - dt
0,25
0,50
Xét 
Ta có: 
0,50
0,25
Vậy .
0,25
2) (1,5 điểm)
Khi ta có . Vậy với thì 
0,25
Vậy để có đpcm , ta chỉ việc chứng minh đúng .
Thật vậy, (1) 
0,25
Xét hàm số với 
Có 
0,25
0,50
 hàm số f(x) đồng biến trên khoảng 
 f(x) > f(0) = 0 .
Vậy (2) đúng bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
0,25
 Chú ý:
- Mọi lời giải khác của thí sinh nếu lập luận đúng và phù hợp kiến thức trong chương trình, tổ giám khảo thống nhất cho điểm tương ứng.
- Điểm của bài thi là tổng các điểm thành phần và không làm tròn; điểm thành phần không chia nhỏ hơn 0,25 điểm.
Sở Giáo Dục - Đào Tạo đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh
 NAM Định Năm học 2007 –2008 
đề dự bị
 Môn: Toán Lớp 12 thpt	 
 Thời gian làm bài 180 phút (Không kể thời gian giao đề)	 	(Đề bài này gồm 01 trang)	
Bài 1(2,0 điểm-Trắc nghiệm khách quan) Trong các câu hỏi sau đây, mỗi câu có nêu 4 phương án trả lời (có các chữ cái A, B, C, D đứng trước), trong đó chỉ có một phương án đúng. Hãy chọn phương án trả lời mà em cho là đúng, bằng cách viết ra chữ cái in đứng trước phương án đó. 
Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4y + 3 = 0 và đường tròn (C’): x2 + y2 6x 2y + 6 = 0. Số các tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( C) và ( C’) là
 A/ 4 B/ 3 C/ 2 D/ 1
Câu 2: Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = x + 2 được kết quả là
 A/ x = B/ x = C/ x = và x = D/ không có điểm cực tiểu.
Câu 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x4 2x2 + 3. Số các tiếp tuyến của (C) kẻ qua điểm M(0; 3) là
 A/ 0 B/ 1 C/ 2 D/ 3 
Câu 4: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = là
 A/ y = x và y = x B/ x = 1 và x = 2 C/ y = 1 và y = 1 D/ y = 1 và y = x.
Bài 2 (5,0 điểm) Cho hệ phương trình: ( với m là tham số).
1) Giải hệ phương trình khi m = 3.
2) Xét tất cả các nghiệm (x; y) của hệ phương trình đã cho, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức M = .
Bài 3 (7,0) điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường hypebol (H) có phương trình: với hai tiêu điểm là F1 và F2. M là điểm nằm trên (H).
a) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì OM2 MF1.MF2 có giá trị không đổi. Tính giá trị đó.
b) Khi điểm M không thuộc trục Ox, chứng minh rằng: đường thẳng chứa đường phân giác trong của góc tại đỉnh M của tam giác MF1F2 chỉ có một điểm chung duy nhất với (H). 
2) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 1 ; 0); B(2; 0 ; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x + y + z + 1 = 0. Hãy xác định toạ độ của điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho mặt phẳng (BAC) vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời tam giác ABC có diện tích bằng .
Bài 4 (2,5 điểm) Chứng minh rằng: phương trình 2x = x2 + 1 có đúng ba nghiệm thực.
Bài 5 (3,5 điểm) 
 1) Tính tích phân I = .
2) Chứng minh rằng: với mọi x ta luôn có .
-------Hết-------
Họ tên thí sinh: .. Chữ ký giám thị 1..
Số báo danh : .. Chữ ký giám thị 2..
Sở Giáo Dục - Đào Tạo đáp án và hướng dẫn chấm
 NAM Định đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh 
đề dự bị
 Năm học 2007 –2008 
 Môn: Toán Lớp 12 thpt	 
Bài 1(2 điểm-Trắc nghiệm khách quan) mỗi câu đúng cho 0,50 điểm:
Câu1: A/ Câu2: B/ Câu3: D/ Câu4: C/ 
Bài 2 (5,0 điểm)
1) (2,0 điểm)
Khi m = 3 ta có hệ phương trình ĐKXĐ: 
0,25
Hệ tương đương 
0,50
(x;y) là nghiệm của hệ khi và chỉ khi vàlà nghiệm không âm của phương trình 
 t2 – 3t + 2 = 0 
0,25
Hệ trên 
0,50
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) là (1; 4) và (4; 1)
0,50
2) (3,0 điểm)
Biến đổi hệ đã cho thành hệ tương đương 
 với 
0,50
(x;y) là nghiệm của hệ khi và chỉ khi vàlà nghiệm không âm của phương trình 
0,25
Vậy hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có cả hai nghiệm 
0,25
0,25
0,25
 với điều kiện (2)
0,25
Xét hàm số f(m) = m(m2 – m – 2) với m 
0,25
Có f’(m) = 3m2 – 2m – 2 > 0, m 
0,50
hàm f(m) đồng biến trên đoạn min f(m) = f(2) = 0.
0,25
Kết luận minM = 0 .
0,25
Bài 3 (7,0 điểm) 
1) (4,0điểm)
a) (2,5 đ) ( H) có phương trình dạng chính tắc với a2 = 16, b2 = 9 c2 = a2 + b2 = 25 
 c = 5, a= 4
0,50
Gọi M(x0; y0) OM2 = , nếu MF1 > MF2 thì MF1 = a + x0 ; MF2 = - a + x0 
0,50
 OM2 - MF1. MF2 = - (a + x0) (-a + x0) = + a2 – (x0)2 = 
 + 16 – x02 = x02 + y02 + 16 (1)
0,50
M thuộc ( E) nên 
0,50
Thay vào (1) ta có OM2 - MF1. MF2 = 7
0,25
Tương tự, nếu MF1 < MF2 cũng có kết quả trên. Vậy OM2 - MF1. MF2 = 7
0,25
b) (1,5điểm)
Gọi d là đường thẳng qua đường phân giác trong của góc tại đỉnh M của tam giác MF1F2. Điểm M( H) khi và chỉ khi 
0,25
Trường hợp 1: Nếu MF1 > MF2, điểm M thuộc (H) khi và chỉ khi MF1 – MF2 = 8. Xét M’ là điểm bất kỳ thuộc d. Khi M’ và F2 cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ MF1 (hoặc M’ và F1 cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ MF2 có kết quả tương tự). Lấy điểm F2’ đối xứng với F2 qua d, khi đó: F2’ thuộc đường thẳng MF1 
và M’F1- M’F2 = M’F1- M’F2’ F1 F2’ (1)
0,50
Mà F1 F2’ = MF1 - MF2’ và MF2’ = MF2 F1 F2’ = MF1 - MF2= 8 (2)
0,25
Từ (1) và (2) M’F1- M’F2 8, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M M’. Vậy nếu M’ khác M thì M’F1- M’F2 <8, nên M( H) và nếu M’ M thì M’( H) đpcm
0,25
Trường hợp 1: Nếu MF1 < MF2, chứng minh tương tự.
0,25
2) (3,0điểm)
Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và C thuộc giao tuyến d của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q), trong đó (Q) là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P).
0,50
, mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là một vectơ pháp tuyến của (Q). Mà (Q) qua A 
0,50
Phương trình đường thẳng d: 
0,25
Chuyển phương trình trên về tham số: 
0,25
0,25
Gọi S là diện tích tam giác ABC 
0,25
0,25
0,25
Vậy 
0,25
Vậy có hai điểm C thoả mãn là và C(- 2; -6; 9)
0,25
Bài 4 (2,5 điểm)
Phương trình đã cho tương tương 
Xét hàm số liên tục trên R
Có 
0,25
; 
0,25
Ta chứng minh phương trình có nhiều nhất là hai nghiệm phân biệt.
Thật vậy, giả sử phương trình có quá hai nghiệm phân biệt. Khi đó ta chọn ra 3 nghiệm là x1 < x2 < x3. áp dụng định lý Lagrăng đối với hàm số f’(x) và để và 
Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt là a và b, trái với kết quả trên.
0,75
Lập luận tương tự như trên suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất là 3 nghiệm phân biệt
0,50
Mặt khác và f(2) 0 suy ra phương trình f(x) = 0 còn có nghiệm x = c 
0,50
Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm là x = 0; x = 1 và x = c 
0,25
Bài 5 (3,5 điểm)
1) (2,0 điểm)
 (1)
0,25
Xét . Đặt 
 có . Đặt x = - t dx = - dt
0,25
0,50
Xét 
Ta có: 
0,50
0,25
Vậy .
0,25
2) (1,5 điểm)
Khi ta có 
0,25
ta chứng minh đúng .
Thật vậy, (1) 
0,25
Xét hàm số với 
Có 
0,25
0,50
 hàm số f(t) đồng biến trên khoảng 
 f(t) > f(0) = 0 .
Vậy (2) đúng (1) đúng. áp dụng bất đẳng thức (1) với t = suy ra điều phải chứng minh.
0,25
Chú ý:
- Mọi lời giải khác của thí sinh nếu lập luận đúng và phù hợp kiến thức trong chương trình, tổ giám khảo thống nhất cho điểm tương ứng.
- Điểm của bài thi là tổng các điểm thành phần và không làm tròn; điểm thành phần không chia nhỏ hơn 0,25 điểm.