Đề thi chọn học sinh giỏi trường môn Toán lớp 9 THCS

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀLẠT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
TRƯỜNG PTCS PHAN CHU TRINH VÒNG TRƯỜNG LỚP 9 THCS
 Năm học 2006-2007
Đề Thi Môn : TOÁN
Ngày thi: 16/11/2006
(Phần Số Học Và Đại Số)
Bài 1(4đ)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có 2.7n + 1 là bội của 3
Số 19k +5k +1995k +1996k với k là số chẵn có phải là số chính phương không? Vì sao?
Bài 2(4đ)
Phân tích thành nhân tử: a3 +b3 +c3 -3abc
Cho và abc ≠ 0 . Chứng minh rằng biểu thức:
 không phụ thuộc vào a,b,c
Bài 3 (4đ)
 1) Cho:
 Hãy so sánh A và B
Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
 với p là nửa chu vi tam giác đó
Bài 4 (8đ):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đường cao BE và AD. Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC.
Chứng minh rằng : tgB.tgC =
Chứng tỏ rằng HG//BC tgB.tgC = 3
Cho hình bình hành ABCD, qua đỉnh D kẻ một đường thẳng cắt các đường thẳng AC, AB, BC tại M,N,K . Chứng minh rằng :
DM 2 = MN . MK
% Hết %
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 06-07
(Phần Số Học Và Đại Số)
Bài 1(4đ)
7 º 1(mod 3) =>7n º 1 (mod 3)
=>2.7n º 2 (mod 3)
=>2.7n +1 º 3 (mod 3)º 0(mod 3)
=>2.7n +1 = 3k=> 2.7n +1 là bội của 3
2) 19 º -1(mod 4)=>19k º (-1)k (mod 4) 
19k º 1(mod 4) (do k chẵn) 
 5 º 1(mod 4)=> 5k º 1(mod 4) 
 1995 º -1(mod 4)=>1995k º (-1)k (mod 4) 
1995k º 1(mod 4) (do k chẵn) 
1996 º 0 (mod 4)=> 1996kº 0(mod4) 
=>19k +5k +1995k +1996k º 3(mod 4) 
19k +5k +1995k +1996k = 4k+3 (kỴZ)
=>19k +5k +1995k +1996k không thể là số chính phương
Bài 2(4đ):
a3 +b3 +c3 -3abc =
=(a3+3a2b+3ab2+b3) +c3 -(3abc+3a2b+3ab2)
=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
Theo câu a nếu ta có a+b+c = 0 thì 
a3 +b3 +c3 -3abc = 0=> a3 +b3 +c3 = 3abc 
áp dụng kết qủa trên nếu 
ta có: 
=>Kết luận
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.75
0.25
Bài 3(4đ)
Vậy B >A
2) Chứng minh được :
Aùp dụng bđt trên ta có:
(Học sinh có thể chứng minh bằng cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)
Bài 4 (8đ):
1)
 a) tìm được tgB= ,tgC=
=> tgB.tgC= 
=>tgB.tgC= 
b) cm được : ( M là trung điểm của BC)
D ADM có HG//BC 
(nếu học sinh chứng minh hai chiều thì chiều thứ nhất 0.75đ, chiều ngược lại 0,75đ)
2)
a) cmđược
Từ (1) => 
Từ (2)=>
Từ (1’,2’) => 
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.75
0.5
0.25